Les réponses des blocs « À vous » du cours

Chaque méthode du cours est suivie d’un bloc « À vous », et chaque bloc contient deux jumeaux. Le premier vous laisse la dernière étape, le second les deux dernières : tout le reste est écrit noir sur blanc dans l’énoncé. Ce qui suit reprend donc là où le cours s’arrête, et rien de plus.

Un conseil avant de lire : cherchez d’abord. Une réponse lue n’apprend rien, une réponse comparée à la vôtre apprend beaucoup.

Factoriser une expression

(a) $B = (x-4)(3x+2) - (x-4)$. L’énoncé va jusqu’au produit $B = (x-4)(3x+1)$. Restent la vérification et la conclusion.

On développe séparément les deux écritures, puis on compare. D’un côté :

$(x-4)(3x+2) - (x-4) = 3x^{2} - 10x - 8 - x + 4 = 3x^{2} - 11x - 4.$

De l’autre :

$(x-4)(3x+1) = 3x^{2} + x - 12x - 4 = 3x^{2} - 11x - 4.$

Les deux calculs donnent la même expression. Conclusion, quantifiée en toutes lettres : pour tout réel $x$, $B = (x-4)(3x+1)$.

(b) $C = 9x^{2} - 25$. L’énoncé s’arrête sur $C = (3x)^{2} - 5^{2}$. Restent l’écriture du produit et la vérification.

La forme $a^{2} - b^{2}$ est là, avec $a = 3x$ et $b = 5$. Le produit est donc $C = (3x+5)(3x-5)$. On vérifie :

$(3x+5)(3x-5) = 9x^{2} - 15x + 15x - 25 = 9x^{2} - 25.$

Les deux termes en $x$ s’annulent, et c’est la signature de cette identité. Pour tout réel $x$, $C = (3x+5)(3x-5)$.

Simplifier une écriture avec des racines

(a) $E = \sqrt{50} + \sqrt{8}$. L’énoncé fournit $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ et $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Reste le regroupement.

Les deux termes portent la même racine, ils sont semblables : on ajoute les coefficients et l’on garde $\sqrt{2}$.

$E = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}.$

Donc $E = 7\sqrt{2}$, c’est-à-dire $k = 7$. Contrôle à la calculatrice : $\sqrt{50} + \sqrt{8} \approx 9{,}899$ et $7\sqrt{2} \approx 9{,}899$.

(b) $F = \sqrt{45} - \sqrt{20}$. L’énoncé s’arrête sur $\sqrt{45} = \sqrt{9}\,\sqrt{5}$ et $\sqrt{20} = \sqrt{4}\,\sqrt{5}$. Restent la sortie des carrés et le regroupement.

Les carrés parfaits sortent : $\sqrt{9} = 3$ et $\sqrt{4} = 2$, donc $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ et $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Les deux termes sont alors semblables :

$F = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}.$

Donc $F = \sqrt{5}$, c’est-à-dire $k = 1$. Un piège de rédaction pour finir : on écrit $\sqrt{5}$, jamais $1\sqrt{5}$.

Prouver qu’un entier est multiple de $a$

(a) $10n + 35$ est un multiple de $5$. Tout est fait sauf la conclusion, et c’est justement l’étape que l’on bâcle.

L’égalité $10n + 35 = 5\,(2n+7)$ ne conclut rien à elle seule : encore faut-il dire ce qu’elle signifie. Le nombre $10n + 35$ s’écrit sous la forme « entier $\times\ 5$ », puisque $2n+7$ est un entier. Par définition d’un multiple, $10n + 35$ est donc un multiple de $5$, quel que soit l’entier $n$.

(b) $12n + 8$ est un multiple de $4$. L’énoncé fournit la factorisation $12n + 8 = 4\,(3n + 2)$. Restent le facteur à nommer et la conclusion.

Le facteur restant est $3n + 2$. C’est un entier, car $n$ est un entier et parce que les sommes et les produits d’entiers sont des entiers. Ainsi $12n + 8$ s’écrit sous la forme « entier $\times\ 4$ », donc $12n + 8$ est un multiple de $4$, quel que soit l’entier $n$.

Rendre une fraction irréductible

(a) $\dfrac{90}{150}$. Les deux simplifications sont faites, jusqu’à $\dfrac{3}{5}$. Reste à justifier l’arrêt, et c’est là qu’est le vrai travail.

Justifier l’arrêt, ce n’est pas écrire « je ne vois plus rien », c’est examiner les diviseurs. Les diviseurs positifs de $3$ sont $1$ et $3$ ; ceux de $5$ sont $1$ et $5$. Le seul diviseur commun est $1$, avec son opposé $-1$. La fraction $\dfrac{3}{5}$ est donc irréductible, et $\dfrac{90}{150} = \dfrac{3}{5}$.

(b) $\dfrac{132}{198}$. L’énoncé s’arrête sur $\dfrac{66}{99}$. Restent la poursuite des simplifications et la justification de l’arrêt.

$66$ et $99$ ont $3$ pour diviseur commun : $\dfrac{66}{99} = \dfrac{22}{33}$. Puis $22$ et $33$ ont $11$ pour diviseur commun : $\dfrac{22}{33} = \dfrac{2}{3}$. Enfin $2$ et $3$ n’ont aucun diviseur commun autre que $1$ et $-1$, donc on s’arrête.

Ainsi $\dfrac{132}{198} = \dfrac{2}{3}$. Contrôle par les produits en croix : $132 \times 3 = 396$ et $198 \times 2 = 396$.

Un œil plus rapide voyait $66 = 33 \times 2$ et $99 = 33 \times 3$, et concluait en une seule division. Les deux chemins arrivent au même endroit, et c’est bien ce qu’affirme le cours : l’écriture irréductible d’un nombre ne dépend pas de la route suivie.

Reconnaître un décimal, et l’écrire

(a) $\dfrac{9}{25}$. L’énoncé donne l’irréductibilité et le multiplicateur, puisque $25 \times 4 = 100$. Restent l’écriture décimale et la conclusion.

On multiplie haut et bas par $4$, puis on lit :

$\dfrac{9}{25} = \dfrac{9 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{36}{100} = 0{,}36.$

Le nombre s’écrit sous la forme $\dfrac{a}{10^{n}}$, avec $a = 36$ et $n = 2$. Donc $\dfrac{9}{25}$ est décimal, et vaut $0{,}36$.

(b) $\dfrac{21}{56}$. L’énoncé donne la fraction irréductible $\dfrac{3}{8}$. Restent l’entier cherché, puis l’écriture décimale et la conclusion.

L’entier cherché est $125$, car $8 \times 125 = 1000$. On multiplie haut et bas par $125$ :

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 125}{8 \times 125} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375.$

Le nombre s’écrit $\dfrac{a}{10^{n}}$, avec $a = 375$ et $n = 3$. Donc $\dfrac{21}{56}$ est décimal, et vaut $0{,}375$.

Ce jumeau montre au passage pourquoi la première étape de la méthode n’est pas décorative. Sur $\dfrac{21}{56}$ laissée telle quelle, aucun entier ne transforme $56$ en une puissance de $10$ : le facteur $7$ ne disparaît jamais d’une puissance de $10$. On aurait donc pu croire, à tort, que le nombre n’est pas décimal. C’est la fraction irréductible, et elle seule, qui donne le verdict.