L'échelle de Théon et les pains d'Ahmès

Le chapitre a démontré deux impossibilités d’écriture. Le nombre $\dfrac{1}{3}$ n’est pas décimal : son écriture ne s’arrête jamais. Le nombre $\sqrt{2}$ n’est même pas rationnel : aucune fraction d’entiers ne lui est égale, aucune, quelle que soit la taille des entiers qu’on s’autorise.

Voilà qui devrait clore l’affaire. Il n’en est rien. Deux civilisations séparées de dix-huit siècles ont buté sur cet obstacle et y ont répondu de la même façon : puisqu’on ne peut pas écrire le nombre, construisons un procédé qui l’approche, et qui soit, lui, exact.

L’Atelier vous a fait tourner ces deux procédés (exercices 29 et 30). Voici ce qu’ils cachent.

Pourquoi l’échelle de Théon ne peut pas se tromper

On part du couple $(1\,;1)$ et l’on passe de $(s\,;d)$ à $(s+d\,;\ 2s+d)$. Vous avez calculé $d^{2}-2s^{2}$ pour six couples et trouvé $-1$, $+1$, $-1$, $+1$, $-1$, $+1$. La vraie question est celle-ci : est-ce une coïncidence qui finira par céder à la centième marche ?

Non. La démonstration n’utilise rien de plus que les identités remarquables du chapitre. Le couple suivant a pour côté $s+d$ et pour diagonale $2s+d$ ; calculons la même quantité :

$(2s+d)^{2} - 2(s+d)^{2} = 4s^{2}+4sd+d^{2} - 2s^{2}-4sd-2d^{2} = 2s^{2}-d^{2} = -(d^{2}-2s^{2}).$

La quantité change de signe et garde sa valeur absolue. Comme le premier couple donne $1^{2}-2\times 1^{2}=-1$, on peut l’affirmer de toute marche de l’échelle, aussi haute soit-elle : $d^{2}-2s^{2}$ vaut $-1$ ou $+1$, jamais autre chose.

Divisons alors par $s^{2}$ :

$\left(\dfrac{d}{s}\right)^{2} - 2 = \dfrac{\pm 1}{s^{2}}.$

Tout est là : le carré du quotient manque $2$ d’un écart valant exactement $\dfrac{1}{s^{2}}$, et $s$ grossit sans fin. Mieux : le membre de gauche s’écrit $\left(\dfrac{d}{s}-\sqrt{2}\right)\left(\dfrac{d}{s}+\sqrt{2}\right)$, dont le second facteur dépasse $2$ puisque le quotient dépasse $1$. L’écart entre $\dfrac{d}{s}$ et $\sqrt{2}$ est donc inférieur à $\dfrac{1}{2s^{2}}$.

Le couple $(408\,;577)$ a pour côté $408$ : son quotient approche $\sqrt{2}$ à moins de $\dfrac{1}{2\times 408^{2}}$, soit trois millionièmes, et cela se sait sans jamais avoir calculé $\sqrt{2}$. Un procédé exact sur un nombre inatteignable.

Le scribe de Yale résiste plus longtemps qu’on ne croit

marche	quotient $d/s$	écart à $\sqrt{2}$
$6^{\text{e}}$ · $(70\,;99)$	$1{,}414\,285\,714\ldots$	$7{,}2 \times 10^{-5}$
$8^{\text{e}}$ · $(408\,;577)$	$1{,}414\,215\,686\ldots$	$2{,}1 \times 10^{-6}$
tablette YBC 7289	$1{,}414\,212\,963\ldots$	$6{,}0 \times 10^{-7}$
$9^{\text{e}}$ · $(985\,;1393)$	$1{,}414\,213\,198\ldots$	$3{,}6 \times 10^{-7}$

L’Atelier s’arrête au huitième couple, et à ce stade le scribe babylonien est encore devant. Il faut la neuvième marche pour le dépasser. Chaque marche multiplie le côté par environ $2{,}41$ et divise donc l’écart par près de $6$ : trois décimales exactes gagnées tous les quatre couples. Lent pour nous, foudroyant pour une main qui ne dispose que d’entiers.

Théon de Smyrne, au deuxième siècle de notre ère, ne fait qu’exposer ces nombres latéraux et diagonaux ; la construction est pythagoricienne et bien antérieure. Platon, cinq siècles plus tôt, appelle déjà $7$ la « diagonale rationnelle » du côté $5$, car $5^{2}+5^{2}$ vaut $7^{2}+1$ : c’est le troisième couple de l’échelle.

Les pains d’Ahmès

Le papyrus Rhind a été copié vers 1650 avant notre ère par le scribe Ahmès, d’après un texte antérieur de deux siècles, du règne d’Amenemhat III. Alexander Rhind l’achète à Louxor en 1858 ; il est aujourd’hui au British Museum.

Ses six premiers problèmes partagent des pains entre dix hommes. Le sixième en partage neuf, et la solution égyptienne n’est pas « couper chaque pain en dix ». Elle est

$\dfrac{9}{10} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{30},$

c’est-à-dire trois morceaux par convive, tous obtenus par des découpes praticables. Le geste commande l’écriture.

L’Atelier vous a fait vérifier de telles décompositions et en trouver deux. Il ne vous a pas dit qu’il existe un procédé qui les fournit toujours : retirer la plus grande fraction unitaire qui ne dépasse pas le nombre, puis recommencer avec ce qui reste. Sur $\dfrac{5}{7}$ :

$\dfrac{5}{7} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{14}, \qquad \dfrac{3}{14} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{70}, \qquad \text{donc} \quad \dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{70}.$

Pourquoi cela s’arrête toujours ? Parce que le numérateur de ce qui reste diminue strictement à chaque étape, et qu’une liste d’entiers positifs qui diminue strictement ne peut pas être infinie. Toute fraction comprise entre $0$ et $1$ admet donc une écriture en somme de fractions unitaires distinctes. Fibonacci le démontre en 1202 dans le Liber abaci ; Sylvester le redécouvre en 1880.

Ahmès, lui, ne suivait pas ce procédé. Pour $\dfrac{2}{13}$, la méthode gloutonne donne $\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{91}$ ; sa table donne $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{52}+\dfrac{1}{104}$. Trois morceaux au lieu de deux, mais des dénominateurs pairs et petits, faciles à obtenir en doublant et en divisant par deux, les deux seules opérations du calcul égyptien. Entre deux écritures également vraies, le scribe choisit celle qui se travaille.

Le fil

Une échelle d’entiers qui encadre $\sqrt{2}$ de mieux en mieux, une somme de parts qui reconstitue un partage impossible : dans les deux cas, un nombre qu’on ne peut pas écrire est remplacé par un procédé qu’on peut, lui, contrôler entièrement.

Ce problème n’est pas clos. Il a simplement changé de mains : votre machine le rencontre chaque fois qu’elle manipule $0{,}1$, et pour la raison exacte qui empêche $\dfrac{1}{3}$ de s’écrire en base dix. C’est l’objet de l’extra suivant, Pourquoi la machine ne sait pas écrire $0{,}1$.

Sources

• Exercices 29 et 30 de l’Atelier A1, et la démonstration d’irrationalité de $\sqrt{2}$ du cours.
• Théon de Smyrne, Exposition des connaissances mathématiques utiles à la lecture de Platon, IIe siècle ; Platon, République, VIII, 546c, pour la « diagonale rationnelle » de $5$.
• Papyrus Rhind, British Museum EA 10057-10058 ; table des $\dfrac{2}{n}$ pour les impairs jusqu’à $101$.
• Leonardo de Pise, Liber abaci, 1202, pour la terminaison de l’algorithme glouton.
• Valeurs numériques recalculées en arithmétique exacte, tablette YBC 7289 lue $1;24,51,10$ en base soixante.