Après Archimède : Ludolph, et l'arbre de l'horloger

Les exercices 28 et 30 enferment tous deux un nombre entre deux fractions, et ils s’y prennent de façon opposée. Archimède part d’un objet géométrique et le raffine ; Brocot part de deux fractions et en fabrique une troisième. L’un a été abandonné, l’autre est encore en service. Voici pourquoi.

Ce qu’il en a coûté de continuer

Archimède s’arrête à quatre-vingt-seize côtés. Il a doublé quatre fois, en partant de l’hexagone, et il a gagné deux décimales. Le corrigé le dit sans détour : le procédé marche, et il est d’une lenteur redoutable.

On peut mesurer cette lenteur. Chaque doublement du nombre de côtés divise environ par quatre l’écart entre le polygone et le cercle. Deux doublements divisent donc l’écart par seize, un peu mieux que par dix : il faut à peine moins de deux doublements pour gagner une décimale, et ce prix ne baisse jamais.

Ludolph van Ceulen, escrimeur et professeur de mathématiques à Leyde, a payé ce prix pendant des décennies. Il publie vingt décimales de $\pi$ en 1596, puis en atteint trente-cinq, publiées après sa mort en 1615. Trente-cinq décimales, au prix annoncé, réclament une soixantaine de doublements : le polygone final compte de l’ordre de quatre milliards de milliards de côtés. Ces trente-cinq décimales furent gravées sur sa tombe, à la Pieterskerk de Leyde. La pierre originale a disparu ; une copie a été replacée dans l’église en 2000. En Allemagne, $\pi$ s’est longtemps appelé le nombre de Ludolph.

C’est le sommet de la méthode, et c’en est aussi la fin. En 1706, John Machin en donne cent décimales sans tracer un seul polygone, au moyen d’une formule. La méthode d’Archimède n’a pas été abandonnée parce qu’elle était fausse : elle l’a été parce qu’elle coûtait trop cher.

L’arbre de Stern et Brocot

L’autre exercice ne trace rien du tout. À partir de deux fractions qui encadrent la cible, il en fabrique une troisième, la médiante, et recommence. En cinq étapes menées de tête, sans une seule division, l’Atelier obtient

$\dfrac{7}{5} < 1{,}4142 < \dfrac{17}{12}, \qquad \text{d'amplitude } \dfrac{1}{60}.$

L’énoncé imposait une consigne étrange : ne jamais simplifier les fractions obtenues. Elle n’était pas arbitraire, et voici sa raison.

Les deux bornes de départ, $\dfrac{1}{1}$ et $\dfrac{2}{1}$, vérifient une petite égalité : en notant $\dfrac{a}{b}$ la petite et $\dfrac{c}{d}$ la grande, on a $bc - ad = 1 \times 2 - 1 \times 1 = 1$. Or ce nombre $bc - ad$ est exactement celui qui apparaît aux numérateurs des deux différences calculées aux questions 2 et 3. Formons la médiante $\dfrac{a+c}{b+d}$ et regardons le couple qu’elle forme avec l’ancienne borne de droite :

$(b+d)\,c - (a+c)\,d = bc + cd - ad - cd = bc - ad = 1.$

Le même calcul mené de l’autre côté donne encore $1$. La petite égalité se transmet d’une étape à la suivante, et elle ne vaut jamais autre chose que $1$.

Elle a une conséquence immédiate. Tout diviseur commun au numérateur $a+c$ et au dénominateur $b+d$ de la médiante divise la quantité $(b+d)c - (a+c)d$, c’est-à-dire divise $1$. Autrement dit, la médiante est toujours irréductible. La consigne de l’énoncé ne demandait donc pas de renoncer à simplifier : elle constatait qu’il n’y a jamais rien à simplifier.

En poursuivant ces médiantes indéfiniment, on engendre un morceau de ce qu’on appelle l’arbre de Stern et Brocot, du nom de Moritz Stern, qui le publie en 1858, et d’Achille Brocot, qui le retrouve trois ans plus tard sans le savoir. L’arbre complet se bâtit de la même façon à partir de $\dfrac{0}{1}$ et de l’écriture formelle $\dfrac{1}{0}$, et sa propriété remarquable est celle-ci : toute fraction irréductible de nombres entiers positifs y apparaît une fois, et une seule. On l’y atteint en descendant par la règle même de l’exercice, à gauche quand la médiante est trop grande, à droite quand elle est trop petite.

Une échelle déjà rencontrée

Regardez les fractions produites par les cinq étapes de l’Atelier : $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{7}{5}$, $\dfrac{10}{7}$, $\dfrac{17}{12}$. Trois d’entre elles vous sont connues. Le chapitre A1 vous a fait grimper l’échelle de Théon, dont les barreaux sont $\dfrac{1}{1}$, $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{7}{5}$, $\dfrac{17}{12}$, $\dfrac{41}{29}$.

La coïncidence n’en est pas une, et elle se lit sur le tableau du corrigé. La méthode change de côté à l’étape 2, puis à l’étape 4, puis elle changerait à l’étape 6. Or, chaque fois qu’elle s’apprête à changer de côté, la dernière borne posée est un barreau de l’échelle : $\dfrac{3}{2}$ avant le premier changement, $\dfrac{7}{5}$ avant le deuxième, $\dfrac{17}{12}$ avant le troisième. Les deux procédés, celui des Grecs et celui de l’horloger, parcourent, aussi loin qu’on les a menés ici, le même chemin vers $\sqrt{2}$ ; l’échelle de Théon ne retient que les étapes où l’on vient de faire demi-tour.

Pourquoi un horloger

Reste la question la plus concrète. Qu’est-ce qu’un horloger parisien de 1861 pouvait bien faire d’un arbre de fractions ?

Un rouage transmet un mouvement dans un rapport imposé par le nombre de dents de ses roues. Le rapport voulu n’est presque jamais un rapport d’entiers commodes, et l’on ne taille pas une roue de trois mille dents dans une pendule. Il faut donc une fraction proche de la valeur visée, avec un dénominateur qu’on puisse tailler dans le laiton. C’est très exactement ce que la médiante fabrique, et dans le meilleur ordre possible : à chaque étape, elle donne la fraction de plus petit dénominateur qui améliore l’encadrement. Dix-sept dents contre douze, et la pendule marche.

Brocot écrivait pour des confrères qui n’avaient pas fait d’études de mathématiques. Sa méthode ne demande qu’une addition de numérateurs, une addition de dénominateurs et une comparaison. Cent soixante-cinq ans plus tard, elle sert encore, sous le même nom, à approcher des rapports dans les circuits numériques.

Sources

• Atelier A2, exercices 28 et 30, dont les calculs ne sont pas repris ici ; chapitre A1, exercice sur l’échelle de Théon.
• Archimède, La mesure du cercle, vers 250 avant notre ère.
• Ludolph van Ceulen (1540-1610), Vanden circkel, Delft, 1596, pour les vingt décimales ; les trente-cinq décimales paraissent après sa mort, en 1615. La pierre tombale de la Pieterskerk de Leyde a été reposée en 2000, l’originale ayant disparu.
• John Machin, cent décimales de $\pi$ en 1706, par une formule et non par des polygones.
• Moritz Stern, 1858 ; Achille Brocot, Calcul des rouages par approximation, Revue chronométrique, 1861.