Les réponses des blocs « À vous » du cours

Chacune des six méthodes du cours est suivie d’un bloc « À vous », et chaque bloc contient deux jumeaux. Le premier vous laisse la dernière étape, le second les deux dernières. Ce qui suit reprend exactement là où l’énoncé s’arrête, et rien de plus.

Un conseil avant de lire : cherchez d’abord. Une réponse lue n’apprend rien, une réponse comparée à la vôtre apprend beaucoup.

Comparer deux nombres

(a) Comparer $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{7}{10}$. L’énoncé fournit la différence $\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{-1}{70}$. Restent le signe et la conclusion.

Le numérateur $-1$ est strictement négatif, le dénominateur $70$ est strictement positif : le quotient est donc strictement négatif. La différence $\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{7}$ étant strictement négative, c’est $\dfrac{7}{10}$, le premier nombre de cette différence, qui est le plus petit.

$\boxed{\dfrac{7}{10} < \dfrac{5}{7}}$

(b) Comparer $\dfrac{11}{13}$ et $\dfrac{6}{7}$. Rien n’est fait : la différence, son signe, la conclusion.

Au dénominateur commun $91$ :

$\dfrac{6}{7} - \dfrac{11}{13} = \dfrac{6 \times 13}{91} - \dfrac{11 \times 7}{91} = \dfrac{78 - 77}{91} = \dfrac{1}{91}.$

Ce nombre est strictement positif, donc $\dfrac{6}{7}$ est le plus grand des deux.

$\boxed{\dfrac{11}{13} < \dfrac{6}{7}}$

Contrôle à la calculatrice, une fois la démonstration écrite et pas avant : $\dfrac{11}{13} \approx 0{,}846$ et $\dfrac{6}{7} \approx 0{,}857$.

Encadrer une expression du premier degré

(a) Sachant que $-1 \leqslant x \leqslant 4$, encadrer $B = 5 - 3x$. L’énoncé donne $-12 \leqslant -3x \leqslant 3$. Restent l’addition de $5$ et la vérification.

On ajoute $5$ aux trois membres, ce qui ne change aucun sens :

$-7 \leqslant 5 - 3x \leqslant 8.$

Vérification. Pour $x = -1$, on trouve $B = 5 + 3 = 8$, la borne supérieure. Pour $x = 4$, on trouve $B = 5 - 12 = -7$, la borne inférieure. Les deux valeurs extrêmes de $x$ ont bien échangé leurs rôles, comme le renversement l’annonçait.

Conclusion, quantifiée en toutes lettres : pour tout réel $x$ tel que $-1 \leqslant x \leqslant 4$,

$\boxed{-7 \leqslant 5 - 3x \leqslant 8}$

L’amplitude est passée de $5$ à $15$ : la multiplication par $-3$ l’a triplée.

(b) Sachant que $1 \leqslant x \leqslant 6$, encadrer $C = 4 - x$. Les quatre étapes.

On part de $1 \leqslant x \leqslant 6$. Le coefficient de $x$ vaut $-1$, strictement négatif : la multiplication renverse l’encadrement, et l’on obtient $-6 \leqslant -x \leqslant -1$. On ajoute ensuite $4$ aux trois membres :

$-2 \leqslant 4 - x \leqslant 3.$

Vérification. Pour $x = 1$, $C = 3$ ; pour $x = 6$, $C = -2$.

Conclusion : pour tout réel $x$ tel que $1 \leqslant x \leqslant 6$,

$\boxed{-2 \leqslant 4 - x \leqslant 3}$

Ici l’amplitude vaut $5$ au départ et $5$ à l’arrivée : multiplier par $-1$ retourne l’encadrement sans l’abîmer.

Écrire l’intervalle décrit par une phrase

(a) « $x$ est compris entre $-3$ et $1$, ces deux valeurs étant exclues ». Les bornes sont repérées. Restent les crochets et la relecture.

Aucune des deux bornes n’est comprise : les deux crochets s’ouvrent donc vers l’extérieur de l’intervalle.

$\boxed{x \in \left]{-3}\,;1\right[}$

Relecture. Cet intervalle se retraduit par « $x$ est strictement supérieur à $-3$ et strictement inférieur à $1$ », ce qui est bien l’énoncé de départ.

(b) « $x$ est au plus égal à $4$ ». Les quatre étapes.

Une seule borne est nommée, $4$ ; rien ne limite $x$ vers le bas, la borne de gauche est donc $-\infty$. La locution « au plus égal à » inclut la valeur $4$ : la borne de droite est comprise. Le crochet de gauche accompagne $-\infty$, il est donc toujours ouvert.

$\boxed{x \in \left]-\infty\,;4\right]}$

Relecture. « $x$ est inférieur ou égal à $4$ », ce qui est bien la phrase de départ.

Encadrer un réel à $10^{-n}$ près

(a) Encadrer $\sqrt{3}$ à $10^{-1}$ près. Les carrés sont calculés : $1{,}7^{2} = 2{,}89$ et $1{,}8^{2} = 3{,}24$. Restent la comparaison à $3$ et la conclusion.

Comme $2{,}89 < 3 < 3{,}24$, et puisque $\big(\sqrt{3}\big)^{2} = 3$, le carré de $\sqrt{3}$ est compris entre les carrés de $1{,}7$ et de $1{,}8$. Les trois nombres étant positifs, la comparaison des carrés se remonte aux nombres eux-mêmes.

$\boxed{1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8}$

Encadrement d’amplitude $0{,}1$, c’est-à-dire $10^{-1}$.

(b) Encadrer $\sqrt{5}$ à $10^{-2}$ près. Une seule indication : $\sqrt{5}$ est compris entre $2{,}23$ et $2{,}3$. À vous la suite.

Il faut deux décimaux consécutifs à deux décimales. L’indication place $\sqrt{5}$ au-dessus de $2{,}23$ : essayons le couple $2{,}23$ et $2{,}24$.

$2{,}23^{2} = 4{,}9729 < 5 \qquad\text{et}\qquad 2{,}24^{2} = 5{,}0176 > 5.$

Les deux nombres sont positifs, comme $\sqrt{5}$, et $\big(\sqrt{5}\big)^{2} = 5$ est pris entre les deux carrés.

$\boxed{2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24}$

Encadrement d’amplitude $0{,}01$.

Retirer les barres d’une valeur absolue

(a) Écrire $\big|3 - \sqrt{5}\big|$ sans valeur absolue. Le signe est déterminé : $3 - \sqrt{5}$ est strictement positif. Restent le cas à appliquer et la vérification.

C’est le deuxième point de la méthode : l’expression entre les barres est positive, on retire les barres sans rien changer.

$\boxed{\big|3 - \sqrt{5}\big| = 3 - \sqrt{5}}$

Vérification. L’encadrement obtenu au jumeau précédent donne $2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24$, donc $0{,}76 < 3 - \sqrt{5} < 0{,}77$. Le résultat est bien un nombre positif.

(b) Écrire $\big|\sqrt{7} - 3\big|$ sans valeur absolue. Les quatre étapes.

Signe d’abord. Les nombres $\sqrt{7}$ et $3$ sont positifs, on peut donc comparer leurs carrés, qui valent $7$ et $9$. Comme $7 < 9$, on a $\sqrt{7} < 3$, et $\sqrt{7} - 3$ est strictement négatif. Nous sommes dans le troisième point de la méthode : on change le signe de l’expression entière.

$\big|\sqrt{7} - 3\big| = -\big(\sqrt{7} - 3\big) = 3 - \sqrt{7}.$

Vérification. De $2{,}6^{2} = 6{,}76 < 7$ et $2{,}7^{2} = 7{,}29 > 7$ on tire $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$, donc $0{,}3 < 3 - \sqrt{7} < 0{,}4$. Le résultat est positif.

$\boxed{\big|\sqrt{7} - 3\big| = 3 - \sqrt{7}}$

Traduire dans les deux sens

(a) Traduire $|x - 5| \leqslant 3$ sous forme d’intervalle. La lecture est faite : centre $5$, rayon $3$. Restent l’intervalle et la vérification.

Pour tout réel $x$, dire $|x-5| \leqslant 3$ revient à dire :

$\boxed{x \in [2\,;8]}$

Vérification. La borne $2$ est à distance $|2 - 5| = 3$ du centre, la borne $8$ à distance $|8-5| = 3$. Les deux tombent juste.

(b) Traduire $[-1\,;7]$ à l’aide d’une valeur absolue. Le centre, le rayon, l’écriture, la vérification.

Le centre est la moyenne des bornes, le rayon la moitié de leur différence :

$\dfrac{-1+7}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \qquad\text{et}\qquad \dfrac{7 - (-1)}{2} = \dfrac{8}{2} = 4.$

Vérification. La borne $-1$ est à distance $|{-1}-3| = 4$ du centre, la borne $7$ à distance $|7-3| = 4$.

Pour tout réel $x$, dire $x \in [-1\,;7]$ revient donc à dire :

$\boxed{|x - 3| \leqslant 4}$

Le défi laissé en marge

Le cours demandait de se convaincre que, quels que soient les réels $a$ et $b$, on a $|a+b| \leqslant |a| + |b|$, puis de dire dans quel cas l’égalité a lieu.

L’argument de la droite graduée. Partons du point d’abscisse $0$ et faisons deux déplacements successifs : d’abord de $a$, ensuite de $b$. Le premier déplacement a pour longueur $|a|$, le second $|b|$ ; nous arrivons au point d’abscisse $a+b$, situé à la distance $|a+b|$ du point de départ. Or on ne s’éloigne jamais du départ de plus que la longueur totale du chemin parcouru, et l’on s’en éloigne exactement de cette longueur lorsque les deux déplacements vont dans le même sens. Le premier fait donne l’inégalité, le second annonce le cas d’égalité.

La vérification par cas. Il y a trois situations, et elles épuisent toutes les possibilités.

Si $a$ et $b$ sont tous deux positifs, leur somme l’est aussi, donc $|a+b| = a+b = |a| + |b|$. Il y a égalité.

Si $a$ et $b$ sont tous deux négatifs, leur somme l’est aussi, donc $|a+b| = -(a+b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|$. Il y a encore égalité.

S’ils sont de signes strictement contraires, disons $a$ strictement positif et $b$ strictement négatif, alors $|a| + |b| = a - b$. Deux sous-cas. Si $a+b$ est positif, la différence des deux membres vaut $(a-b) - (a+b) = -2b$, strictement positive puisque $b$ est strictement négatif. Si $a+b$ est strictement négatif, alors $|a+b| = -a-b$, et la différence vaut $(a-b) - (-a-b) = 2a$, strictement positive puisque $a$ l’est. Dans les deux sous-cas, l’inégalité est stricte. Le cas où $a$ est négatif et $b$ positif se traite de la même façon, les rôles échangés.

Quels que soient les réels $a$ et $b$ :

$\boxed{|a+b| \leqslant |a| + |b|}$

Le cas d’égalité. Les trois cas ci-dessus le désignent sans ambiguïté : l’égalité a lieu exactement lorsque $a$ et $b$ sont de même signe au sens large, c’est-à-dire tous deux positifs ou tous deux négatifs. Le nombre $0$ étant à la fois positif et négatif au sens large, l’égalité vaut aussi dès que l’un des deux nombres est nul, ce qu’un coup d’œil confirme : si $a = 0$, les deux membres valent $|b|$.

Cette inégalité s’appelle l’inégalité triangulaire, et vous la retrouverez partout : elle dit qu’un détour n’est jamais plus court que le chemin direct.