Vancouver, la dérive chiffrée

L’exercice 29 a mis l’affaire en chiffres, et le corrigé a fait le calcul : environ $0{,}0005$ perdu par troncature, trois mille opérations par jour, vingt-deux mois de vingt et un jours ouvrés, soit une perte estimée de $693$ points. La dérive réellement constatée, elle, valait environ $575$ points, puisque l’indice affichait $525$ là où il aurait dû être proche de $1100$.

Cet extra ne refait pas ce calcul. Il pose la question que l’exercice n’a pas posée : ce modèle additif est-il seulement le bon modèle ?

Un indice n’est pas un compteur

Un compteur d’électricité additionne. Un indice boursier, non. Il vaut $1000$ en janvier 1982 parce qu’on a décidé qu’il vaudrait $1000$ ce jour-là, et tout ce qui suit est un rapport : l’indice dit de combien le panier de valeurs a été multiplié depuis. Quand le marché gagne $2$ % puis reperd $2$ %, l’indice ne revient pas exactement à son point de départ, et c’est déjà le signe qu’on n’est pas dans un monde d’additions.

Vérifions-le sur des nombres ronds. Deux baisses successives de $10$ % ne font pas une baisse de $20$ % : elles multiplient la valeur par $0{,}9$, puis encore par $0{,}9$, soit par $0{,}81$. La baisse totale vaut $19$ %, et non $20$ %. Les pourcentages ne s’ajoutent pas, ils se composent. C’est vrai des variations du marché, et c’est vrai de tout ce qui voyage avec elles, y compris des erreurs.

Un point perdu n’est pas perdu une seule fois

Voilà le point que le calcul additif ignore. Reprenons le mécanisme du programme fautif : à chaque transaction, il repart de la valeur affichée, la corrige du mouvement des cours, puis tronque au millième. Il repart donc d’une valeur déjà amputée.

Supposons qu’un millième de point ait été perdu en mars 1982. Ce millième ne disparaît pas une fois pour toutes en mars. À chaque recalcul suivant, l’indice tout entier est multiplié par un coefficient proche de $1$, et le morceau manquant est multiplié avec lui : ce qui manque à l’indice suit le sort de l’indice. Si le marché gagne $10$ % entre mars 1982 et novembre 1983, le millième perdu en mars vaut $1{,}1$ millième de trou en novembre.

Les troncatures ne s’ajoutent donc pas : elles se composent. Chacune est réévaluée par tous les mouvements de marché qui la suivent, et les plus anciennes sont réévaluées le plus longtemps. Sur cette période, la valeur qu’aurait dû atteindre l’indice est passée de $1000$ à environ $1100$ : les pertes de la première année reviennent majorées d’un dixième environ, celles des derniers mois presque inchangées. En moyenne, le mécanisme creuse un trou de l’ordre de $5$ % plus profond que la simple somme des troncatures, soit environ $730$ points au lieu de $693$.

Ce que cela dit du modèle, et ce que cela n’en dit pas

Il faut alors être honnête sur la direction des choses, car elle n’est pas celle qu’on attendrait.

Le mécanisme réel perd plus que ce que l’addition compte : la composition aggrave. Et pourtant la dérive constatée, environ $575$ points, est inférieure aux deux estimations. L’écart ne vient donc pas du mécanisme, qui joue dans l’autre sens : il vient des entrées, et le corrigé l’a dit. Trois mille opérations par jour, vingt et un jours ouvrés, une perte moyenne d’un demi-millième : trois chiffres ronds, dont aucun n’a été mesuré. Il suffit que l’un d’eux soit trop généreux d’un cinquième ou d’un quart pour absorber tout l’écart.

La leçon est celle-là, et elle vaut bien au-delà de la Bourse de Vancouver. Un modèle additif construit sur trois nombres ronds donne un ordre de grandeur et une direction : il établit qu’une troncature au millième peut coûter la moitié d’un indice en deux ans, et qu’un arrondi n’aurait rien coûté. Il ne donne pas un chiffre, et il ne décrit même pas correctement la mécanique, puisque celle-ci multiplie là où lui additionne. Confondre les deux, c’est croire qu’on a expliqué quand on a seulement estimé.

La fin de l’histoire

Novembre 1983. L’indice affiche $524{,}811$ et personne ne comprend pourquoi : aucune baisse du marché ne le justifie, les valeurs de la cote se portent bien, et l’indice censé les résumer a perdu la moitié de sa hauteur. La Bourse fait appel à des consultants extérieurs, qui identifient la troncature et reprennent le calcul depuis le début, sur toute la période.

Le travail occupe le week-end du 25 au 28 novembre 1983. Le lundi matin, l’indice rouvre à $1098{,}892$. Il a plus que doublé du jour au lendemain sans qu’une seule action ait changé de main : ce n’était pas le marché qui remontait, c’était l’indice qui rentrait chez lui.

Retenez la forme de cette histoire, car c’est celle du chapitre. L’erreur d’une opération isolée était minuscule, moins d’un millième, invisible sur n’importe quel écran. Elle avait deux défauts, et deux seulement : elle allait toujours dans le même sens, et elle se logeait dans un objet qui multiplie. Vingt-deux mois ont suffi.

Sources

• Cours A2, encadré historique consacré à la Bourse de Vancouver de janvier 1982 à novembre 1983 ; Atelier A2, exercice 29, dont le calcul additif n’est pas repris ici.
• Sur les valeurs $524{,}811$ et $1098{,}892$ et sur la correction du week-end du 25 au 28 novembre 1983 : les comptes rendus de presse de l’époque, repris depuis dans la littérature d’analyse numérique comme cas d’école de l’erreur systématique.
• La discussion de la composition des erreurs est menée ici sur le modèle multiplicatif d’un indice ; les estimations chiffrées gardent les trois entrées rondes de l’Atelier.