La suite des méthodes qui devinent

Le devoir vous a laissés sur un seuil. Tant que l’équation est du premier degré, deux essais suffisent : la règle des deux erreurs donne la solution exacte, et l’affaire est close. Dès que la cible est $x^{2} = 7$, la même règle ne donne plus qu’une valeur approchée. On peut s’en désoler. On peut aussi faire ce que trois mille ans de calculateurs ont fini par faire : recommencer. Voici ce qui arrive à l’art de deviner faux quand il devient une boucle.

Le voyage d’une règle sans algèbre

Avant de devenir une boucle, la méthode a voyagé. Le chapitre 7 des Neuf Chapitres la fixe en Chine ; elle réapparaît, quelques siècles plus tard, dans les mathématiques de langue arabe sous le nom de hisāb al-khaṭaʾayn. Le plus ancien texte conservé qui lui soit entièrement consacré est un traité de Qusta ibn Luqa, savant chrétien originaire de Baalbek, mort vers $912$. Son mérite n’est pas d’avoir appliqué la règle : c’est d’en avoir donné une démonstration, à la manière d’Euclide, avec des figures. Exactement ce que fait la partie IV de votre devoir, avec des lettres au lieu de segments.

La règle sert alors à tout : questions commerciales, calculs de successions, problèmes de divertissement. Sa force est de ne demander ni symbole, ni inconnue, ni équation : deux essais, deux écarts, une division. C’est ce qui lui permet de traverser des siècles où l’algèbre n’existe pas encore, et de passer, avec le Liber Abaci de $1202$, dans les manuels d’arithmétique de l’Europe entière, sous son nom latin de regula falsi, la règle du faux.

Le jour où l’on a recommencé

Le basculement tient en une observation, celle-là même que fait la partie VI du devoir : quand la courbe n’est pas une droite, la corde ne coupe pas la cible là où la courbe la coupe. La valeur proposée est fausse. Mais elle est moins fausse que les essais de départ.

Alors l’idée : ne pas la garder comme réponse, la garder comme essai. Recommencer avec elle, et recommencer encore.

Ce geste change tout. La règle des deux erreurs était une recette qui rendait un résultat ; elle devient un procédé qui rend une suite de résultats de plus en plus proches, et qui ne s’arrête jamais tout seul : c’est celui qui l’emploie qui décide, selon la précision qu’il veut.

Trois manières de deviner en boucle

Couper en deux. La plus rustique. On garde deux essais qui encadrent la solution, l’un en dessous, l’autre au-dessus, et l’on essaie le milieu : on regarde de quel côté il tombe, et il remplace la borne qu’il double. Aucune erreur, aucune corde, seulement un signe, et l’intervalle divisé par deux à chaque tour. C’est la dichotomie : lente, dix tours ne gagnant qu’environ trois décimales, mais incapable d’échouer. Ce qui garantit qu’une solution est bien enfermée dans l’intervalle fut énoncé proprement par Bernard Bolzano en $1817$, longtemps après que les calculateurs eurent commencé à s’en servir.

Rejouer la corde. C’est votre règle des deux erreurs, relancée à chaque tour avec le dernier essai produit : la méthode de la sécante, nettement plus rapide, parce qu’elle exploite les erreurs et pas seulement leur signe. Quand on prend soin de garder à chaque tour deux essais qui encadrent la solution, comme le suggère la fin du devoir, on obtient la regula falsi proprement dite : un peu plus lente, mais sûre de ne jamais perdre la solution de vue.

Poser une tangente. Le saut suivant est de renoncer au second essai. Au lieu de tendre une corde entre deux points de la courbe, on n’en garde qu’un et l’on pose contre la courbe, en ce point, la droite qui la suit au plus près : la tangente. On lit où cette droite atteint la cible, et l’on recommence. Isaac Newton décrit le procédé dans un manuscrit de $1671$ qui ne sera publié qu’en $1736$ ; Joseph Raphson en publie une version simplifiée et directement itérative dès $1690$, d’où le nom de méthode de Newton-Raphson ; Thomas Simpson l’étend en $1740$ au-delà des seuls polynômes.

Ce que cela donne sur la racine de 7

Sur la courbe des carrés, la recette de la tangente prend une forme d’une simplicité déconcertante, que vous pourrez démontrer en Terminale : elle remplace l’essai $a$ par la moyenne de $a$ et de $\dfrac{7}{a}$. Partons d’un essai grossier, $3$ :

$3 \longrightarrow 2{,}666\,666\ldots \longrightarrow 2{,}645\,833\,3\ldots \longrightarrow 2{,}645\,751\,312\ldots$

alors que $\sqrt{7} = 2{,}645\,751\,311\ldots$ Trois tours, et le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque fois : une, puis trois, puis huit. Cette recette n’a d’ailleurs rien attendu : elle figure déjà dans les Metrica de Héron d’Alexandrie, au premier siècle. Les Grecs avaient la formule ; la tangente est venue mille six cents ans plus tard expliquer pourquoi elle marche.

La machine qui ne se lasse pas

Reste ce qu’une machine apporte, et ce n’est pas l’intelligence : c’est de ne pas se lasser. Un processeur qui doit fournir une racine carrée ne peut consulter aucune table de valeurs exactes, pour la raison que le chapitre A1 a démontrée sur $\sqrt{2}$ : une telle écriture n’existe pas. Il lit une approximation grossière, répète deux ou trois corrections du même genre, et s’arrête quand tous les chiffres qu’il sait afficher se sont stabilisés. C’est le noyau des solveurs numériques, ceux qui font tenir un pont ou atterrir une sonde.

Quand votre calculatrice affiche $2{,}645\,751\,311$, elle n’a rien lu nulle part. Elle vient de deviner faux, trois ou quatre fois de suite, très vite.

Sources

• Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique, chapitre 7, ying buzu ; Fibonacci, Liber Abaci, 1202, chapitre 13, méthode elchataym : les deux sources du devoir.
• Qusta ibn Luqa (Baalbek, mort vers 912), traité sur le calcul par les deux erreurs : plus ancien texte conservé consacré à la méthode, avec démonstration géométrique.
• Bernard Bolzano, Rein analytischer Beweis, 1817 ; Héron d’Alexandrie, Metrica, premier siècle, pour la moyenne d’un essai et du quotient.
• Isaac Newton, De methodis fluxionum et serierum infinitarum, écrit en 1671, publié en 1736 ; Joseph Raphson, Analysis aequationum universalis, 1690 ; Thomas Simpson, 1740.
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