Pacioli et la règle des 72

Le corrigé de l’exercice 15 vous a laissés sur une promesse : l’histoire complète de la Summa et de son auteur. La voici. Elle commence par un homme qui n’avait pas de chaire, et elle finit sur une bonne raison de préférer un nombre faux à un nombre juste.

Un franciscain qui enseignait de ville en ville

Luca Pacioli, né vers 1445-1447 et mort en 1517, est un religieux franciscain. Ce n’est pas un professeur d’université installé : c’est un professeur itinérant, qui enseigne d’une ville à l’autre, au gré des maisons qui l’accueillent et des princes qui le demandent. Sa vie tient dans ses déplacements, son public change avec eux, et les gens dont il croise la route ne sont pas tous des géomètres.

Venise, 1494

En 1494 paraît à Venise son grand livre, la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. C’est l’un des tout premiers livres de mathématiques imprimés : l’imprimerie a alors moins d’un demi-siècle, et faire passer des mathématiques par elle est encore une nouveauté.

La vraie nouveauté est pourtant ailleurs. La Summa n’est pas écrite en latin, la langue des savants, mais en italien vulgaire, la langue que l’on parle sur les quais et dans les comptoirs. Choisir cette langue, c’est choisir ses lecteurs : Pacioli n’écrit pas pour l’université, il écrit pour les marchands.

Deux colonnes qui doivent s’équilibrer

Le livre contient un traité de la comptabilité en partie double, celui qui sert encore de socle à la comptabilité moderne. Le principe est d’une simplicité redoutable : chaque opération est inscrite deux fois, d’un côté et de l’autre, de sorte que les deux colonnes doivent toujours se retrouver égales. Si elles ne le sont pas, c’est qu’il y a une erreur, et le livre de comptes se surveille lui-même.

Cinq siècles plus tard, tous les bilans du monde reposent sur ce principe. Pacioli ne l’a pas inventé, les comptoirs italiens le pratiquaient depuis deux siècles : c’est son volume qui l’imprime, l’explique et le répand, dans le livre même qui porte la recette que vous avez éprouvée.

Milan, et un dessinateur célèbre

Vers 1496-1499, à Milan, Pacioli rencontre Léonard de Vinci. De cette proximité sort un second livre, De divina proportione, consacré aux proportions, et que Léonard illustre de sa main. Le mathématicien et le peintre travaillent sur le même objet, chacun avec son outil : l’un écrit les rapports, l’autre les donne à voir.

Une recette, pas un théorème

Dans la Summa, la règle des 72 apparaît telle que vous l’avez rencontrée : une recette de marchand. Aucune démonstration, aucune indication du domaine où elle vaut, aucune estimation de l’erreur commise. On divise, on obtient un nombre d’années, on s’en contente.

C’est une règle d’atelier, pas un théorème. Et c’est précisément ce statut qui explique le choix de la constante.

Pourquoi 72, alors que les très petits taux appellent 69

Vous avez éprouvé la recette sur quatre taux dans l’exercice 15, et vous avez conclu que sa fenêtre de fiabilité se situe autour de 8 %, grosso modo de 4 à 12 %, ce qui est déjà surprenant : elle n’est pas d’autant meilleure que le taux est petit.

Reste la question que l’exercice n’a pas posée : pourquoi 72 ? La constante qui rendrait la recette exacte n’est pas la même selon le taux. Pour des taux très proches de zéro, elle vaut environ 69 à 70 ; elle grandit ensuite doucement, et vaut à peu près 72 autour de 8 %. Autrement dit, choisir 72 plutôt que 69 ne sacrifie rien du tout aux taux marchands : cela déplace simplement la fenêtre de validité, des taux minuscules vers ceux que l’on pratique réellement. Le 8 % de l’exercice 15 s’explique enfin.

Mais ce n’est probablement pas ce raisonnement qui a fait choisir 72, et l’explication la plus reçue est plus terre à terre. Comptez parmi ses diviseurs : 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12. Un marchand qui applique la recette divise 72 par un taux, souvent de tête, sur un quai, sans papier. Avec 72, la division tombe juste dans presque tous les cas usuels. Avec 69, qui ne se divise que par 3 et par 23, elle ne tombe presque jamais.

Le choix est donc un arbitrage d’artisan : une constante commode, qui se trouve en prime être la bonne au voisinage des taux courants. C’est du calcul mental avant l’heure, et tout indique une décision technique plutôt qu’une approximation par ignorance.

Les cousines : 114 et 144

La même famille de recettes existe pour d’autres objectifs. Pour tripler un capital, on divise 114 par le taux. Pour le quadrupler, on divise 144.

Éprouvons-les à 6 % par an, sans reprendre les puissances déjà calculées dans l’Atelier. La règle de 114 annonce $114/6 = 19$ ans, celle de 144 annonce $144/6 = 24$ ans. La calculatrice donne :

$1{,}06^{19} \approx 3{,}026 \qquad \text{et} \qquad 1{,}06^{24} \approx 4{,}049$

Les deux recettes tiennent, avec la même honnêteté approximative que la première.

Notez au passage une cohérence interne : 144 est exactement le double de 72. Quadrupler, c’est doubler puis doubler encore, donc attendre deux fois la durée du doublement. La famille de recettes se tient debout toute seule, et à 6 % elle annonce 12 ans puis 24 ans, ce qui est bien le même calcul fait deux fois.

À vous d’éprouver la règle de 144 à 8 % par an, où elle annonce $144/8 = 18$ ans.

Pourquoi on ne peut pas la démontrer cette année

Il faut le dire franchement : cette règle ne se démontre pas en seconde, et ce n’est pas une question de difficulté.

Vous avez établi dans l’Atelier que répéter $n$ fois une évolution de coefficient $k$ revient à multiplier par $k^{n}$. Chercher au bout de combien d’années un capital double, c’est donc chercher le nombre d’années $n$ tel que

$k^{n} = 2$

où le coefficient $k$ est connu et où l’inconnue est $n$. Or cette inconnue n’est pas à la base, elle est en exposant. Toutes les équations que vous savez résoudre cette année ont leur inconnue à la base, jamais à l’étage : vous pouvez tester des valeurs, comme l’exercice 15 vous l’a fait faire, mais vous ne pouvez pas résoudre.

L’outil qui descend une inconnue de l’exposant existe, il s’appelle le logarithme, et vous le rencontrerez en terminale. Ce n’est pas un aveu de faiblesse, c’est un horizon : la recette de Pacioli restera une recette pour vous encore deux ans, exactement comme elle l’a été pour ses lecteurs de 1494, et vous aurez un jour de quoi dire pourquoi elle marche.

Sources

• Luca Pacioli (vers 1447-1517), religieux franciscain et professeur itinérant, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, Venise, 1494, l’un des tout premiers livres de mathématiques imprimés, écrit en italien vulgaire.
• Le traité de la comptabilité en partie double contenu dans la Summa.
• De divina proportione, né de la rencontre avec Léonard de Vinci à Milan vers 1496-1499, illustré par lui.
• Atelier P1, exercice 15 : les quatre puissances qui y sont calculées ne sont pas reprises ici.