La frise des six noms du triangle

Le cours l’a nommé « le triangle qui a six noms », les Coulisses en ont raconté l’envers. Voici la frise complète, promise sur le compagnon numérique : d’abord une chronologie d’un coup d’œil, puis un récit par nom, et enfin une visite guidée de ce que ce triangle sait faire, rassemblant les lectures croisées tout au long du chapitre.

La chronologie d’un coup d’œil

Époque	Nom, lieu	Ce qui s’y joue
avant notre ère (datation débattue)	Pingala, Inde	mètres poétiques = mots binaires ; les $\binom{n}{k}$ et le total $2^n$ sont calculés
~VIIᵉ siècle	Virahāṅka, Inde	premier meru-prastāra explicite attesté, « l’escalier du mont Meru »
~Xᵉ siècle	Halāyudha, Inde	le commentaire élabore le triangle : chaque case, somme des deux au-dessus
~1000, sauvé au XIIᵉ	al-Karajī → al-Samaw’al, terre d’Islam	triangle et binôme ; œuvre perdue, recopiée par un successeur
1048–1131	Omar Khayyām, Perse	le triangle pour extraire les racines : « triangle de Khayyām »
~1050, sauvé en 1261	Jia Xian → Yang Hui, Chine	Jia Xian le dresse ; livres perdus, recopiés et crédités
1261	Yang Hui, Chine	la copie qui sauve : « triangle de Yang Hui »
1303	Zhu Shijie, Chine	le grave déjà comme « la méthode ancienne »
1527	Petrus Apianus, Europe	première impression européenne, en couverture d’une arithmétique commerciale
1556	Tartaglia, Italie	« triangolo di Tartaglia »
1654 (publié 1665)	Blaise Pascal, France	le Traité du triangle arithmétique et la récurrence

Les six noms que le triangle porte encore aujourd’hui, un par civilisation, avec deux noms pour la Chine : meru-prastāra, Khayyām, Jia Xian, Yang Hui, Tartaglia, Pascal.

Meru-prastāra, l’escalier du mont Meru

En Inde, tout part de la poésie. Un vers sanskrit est une suite de syllabes brèves ou longues : un mot binaire, exactement. Compter les mètres qui ont un nombre donné de syllabes longues, c’est compter des combinaisons, et la prosodie de Pingala le faisait déjà avant notre ère. La figure en escalier, le meru-prastāra, du nom de la montagne cosmique, apparaît plus tard, chez Virahāṅka vers le VIIᵉ siècle puis chez Halāyudha au Xᵉ. Prudence toutefois : attribuer le triangle dessiné à Pingala lui-même est un débat de spécialistes, ouvert depuis Weber en 1863. Ce qui est certain, c’est le calcul ; la figure appartient à ses héritiers.

Khayyām, le triangle des racines

En terre d’Islam, vers l’an mille, al-Karajī construit le triangle et la règle du binôme. Son œuvre est perdue, et c’est ici que commence un motif qui reviendra : nous ne la connaissons que parce qu’un successeur, al-Samaw’al, la recopie au XIIᵉ siècle en la créditant. En Perse, le poète et mathématicien Omar Khayyām s’en sert pour extraire les racines $n$-ièmes, et renvoie lui-même à des travaux antérieurs. C’est pourquoi la tradition persane parle du « triangle de Khayyām ».

Jia Xian, le premier tableau chinois

En Chine, vers 1050, Jia Xian dresse le même tableau. Ses livres, eux aussi, sont perdus. Le triangle chinois aurait pu disparaître sans laisser de trace.

Yang Hui, la copie qui sauve

Il n’a pas disparu, car en 1261 Yang Hui recopie l’ouvrage de Jia Xian et le lui crédite nommément. Deuxième sauvetage par citation, après al-Karajī : deux fois, sur deux continents, le triangle nous parvient parce qu’un disciple avait recopié un maître perdu. En Chine, on l’appelle donc « triangle de Yang Hui ». En 1303, Zhu Shijie le grave dans son Précieux miroir en le qualifiant déjà de « méthode ancienne » : preuve qu’à cette date, il était vieux depuis longtemps.

Tartaglia, l’entrée par la boutique

L’Europe découvre le triangle tard, et par une porte inattendue. Sa première impression, en 1527, n’orne pas un traité savant mais la couverture d’une arithmétique commerciale, destinée aux marchands. Puis il passe chez Stifel en Allemagne (1544) et chez Niccolò Tartaglia en Italie (1556), qui lui donne le nom qu’il garde là-bas : « triangolo di Tartaglia ».

Pascal, l’invention du regard

Blaise Pascal, enfin. Son Traité du triangle arithmétique, composé en 1654 et publié après sa mort en 1665, n’invente pas l’objet, déjà vieux de huit siècles. Il invente une manière de le traiter : une vingtaine de propriétés reliées en un système, et surtout des démonstrations. Sa douzième conséquence, prouvée « bien courtement » par « deux lemmes », une base et une hérédité, est l’une des premières récurrences de l’histoire. Le nom « triangle de Pascal » sera fixé plus tard par Montmort (1708) et de Moivre (vers 1730). Pascal, lui, n’a jamais rien revendiqué. Pour la petite histoire du partage : l’Allemagne, patrie de Stifel qui l’imprima en 1544, n’a pas de nom à elle et dit encore Pascalsches Dreieck.

Ce que le triangle sait faire

Le triangle n’est pas qu’une relique à six noms : c’est un instrument, et le chapitre l’a fait travailler sous plusieurs angles. Voici la visite guidée, chaque lecture renvoyant au document qui la démontre, sans la refaire ici.

• La symétrie. Chaque ligne se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$. Choisir les $k$ objets qu’on prend, c’est choisir les $n-k$ qu’on laisse. Démonstration au paragraphe 6 du cours, « La symétrie du choix ».
• La relation de Pascal. Chaque case est la somme des deux qui la surplombent : $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$. C’est le moteur qui engendre tout le triangle sans jamais diviser de factorielles. Deux démonstrations au cours, dont la voie combinatoire « fixer un élément », à savoir raconter.
• La somme d’une ligne. Additionner une ligne entière donne toujours une puissance de deux : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$. C’est le nombre de parties d’un ensemble à $n$ éléments, comptées taille par taille. Démonstration par dénombrement au cours ; les Coulisses la font surgir dès la prosodie de Pingala.
• La lecture par les chemins. Chaque $\binom{n}{k}$ compte les chemins qui descendent jusqu’à une case en n’allant qu’en bas-gauche ou bas-droite, et la relation de Pascal devient alors une évidence géométrique : pour atteindre une case, on vient de l’une des deux du dessus. Cette lecture est le fil de l’Activité de découverte et du paragraphe « Combinaisons, mots et chemins » du cours.

Quatre lectures, un seul objet. Le triangle que six civilisations ont dessiné est aussi celui que le chapitre entier a fait parler.

Sources

• Cours A2, paragraphe 6, « Le triangle qui a six noms » (frise, symétrie, relation de Pascal, somme $2^n$, chemins).
• Coulisses A2, L’envers du triangle, pièces 21 et 22 (« La nuit sanskrite », « Sauvé par citation »).
• Sur les datations et la controverse d’attribution à Pingala : fond documentaire du chapitre, d’après Weber (1863) et les travaux plus récents.
• Sur le nom « triangle de Pascal » : Montmort (1708), de Moivre (vers 1730).