L'atelier du secret : la solution détaillée

La partie VI du DM Le sinus du degré était facultative, réservée aux aventuriers, et elle réglait la dernière dette du devoir : d’où viennent la donnée $q = \sin 3^\circ$ et l’identité R1 admise depuis le début ? Voici la solution complète, question par question.

Tout repose sur les formules fournies par l’énoncé, valables pour tous angles $A$ et $B$ exprimés en degrés :

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B, \qquad \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B,$ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A, \qquad \cos 2A = 1 - 2\sin^2 A, \qquad \cos^2 A + \sin^2 A = 1,$

ainsi que les valeurs de référence $\sin 30^\circ = \frac12$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt2}{2}$. Tous les angles rencontrés sont aigus, donc de sinus et cosinus strictement positifs : cette remarque servira deux fois pour lever une ambiguïté de signe, et il faut la citer chaque fois.

Q21 a) · Quinze degrés, par soustraction

L’idée tient dans une égalité d’entiers : $15 = 45 - 30$.

$$\begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ\\ &= \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt6}{4} - \frac{\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

$\boxed{\ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}\ }$

Le cosinus s’obtient par le même calcul, avec la formule de $\cos(A - B)$ :

$$\begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ\\ &= \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

$\boxed{\ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}\ }$

Contrôle numérique : $\sin 15^\circ = 0{,}258819045103\ldots$, et $\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} = 0{,}258819045103\ldots$

Notez au passage que $\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ = \frac{(6 - 2\sqrt{12} + 2) + (6 + 2\sqrt{12} + 2)}{16} = \frac{16}{16} = 1$ : les deux résultats se contrôlent l’un l’autre, sans calculatrice.

Q21 b) · Dix-huit degrés, par le pentagone

C’est la question la plus astucieuse du devoir, et elle ne coûte qu’une équation du second degré. Posons $s = \sin 18^\circ$ et $c = \cos 18^\circ$, avec $s > 0$ et $c > 0$ puisque $18^\circ$ est aigu.

L’égalité de départ. Comme $36 + 54 = 90$, les angles $36^\circ$ et $54^\circ$ sont complémentaires, donc

$\sin 36^\circ = \cos 54^\circ.$

Le membre de gauche, par la formule de duplication :

$\sin 36^\circ = \sin(2 \times 18^\circ) = 2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ = 2sc.$

Le membre de droite, en écrivant $54 = 36 + 18$ puis en développant :

$$\begin{aligned} \cos 54^\circ &= \cos(36^\circ + 18^\circ) = \cos 36^\circ \cos 18^\circ - \sin 36^\circ \sin 18^\circ\\ &= \left(1 - 2s^2\right) c - \left(2sc\right) s \qquad \text{(duplication sur } \cos 36^\circ \text{ et } \sin 36^\circ)\\ &= c\left(1 - 2s^2 - 2s^2\right) = c\left(1 - 4s^2\right). \end{aligned}$$

L’équation. En égalant : $2sc = c\left(1 - 4s^2\right)$. Comme $c = \cos 18^\circ > 0$, on peut diviser par $c$, et il vient $2s = 1 - 4s^2$, c’est-à-dire

$\boxed{\ 4s^2 + 2s - 1 = 0\ }$

La résolution. Le discriminant vaut $\Delta = 2^2 + 4 \times 4 \times 1 = 20 > 0$, d’où les deux racines

$s = \frac{-2 - 2\sqrt5}{8} = \frac{-1 - \sqrt5}{4} \qquad \text{ou} \qquad s = \frac{-2 + 2\sqrt5}{8} = \frac{\sqrt5 - 1}{4}.$

La première est strictement négative ; comme $\sin 18^\circ > 0$, elle est à écarter. Il reste

$\boxed{\ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4}\ }$

Contrôle : $\frac{\sqrt5 - 1}{4} = 0{,}309016994375\ldots$, et $\sin 18^\circ = 0{,}309016994375\ldots$

Pourquoi « le pentagone » ? Parce que $\frac{360}{20} = 18$ : l’angle $18^\circ$ est la moitié de l’angle au centre du pentagone régulier. Et le nombre qui sort de l’équation n’est pas n’importe lequel. En notant $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} = 1{,}618\ldots$ le nombre d’or, on vérifie que $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} = \frac{1}{2\varphi}.$ Le nombre d’or est exactement le rapport de la diagonale au côté dans le pentagone régulier : il était donc écrit d’avance que $\varphi$ apparaîtrait ici. Le calcul de la question b) est une manière algébrique de redécouvrir cette propriété géométrique connue d’Euclide.

Le cosinus, pour la suite. Il manque $\cos 18^\circ$, dont la question c) aura besoin. Avec $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$ et $\cos 18^\circ > 0$ (angle aigu) :

$s^2 = \frac{6 - 2\sqrt5}{16} = \frac{3 - \sqrt5}{8}, \qquad 1 - s^2 = \frac{5 + \sqrt5}{8},$

$\cos 18^\circ = \sqrt{\frac{5 + \sqrt5}{8}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt5}}{4} = 0{,}951056516295\ldots$

Q21 c) · Trois degrés, par différence

Le verrou de Ptolémée était la trisection : on ne sait pas passer de $9^\circ$ à $3^\circ$ par la géométrie. Mais on n’en a pas besoin, car $3 = 18 - 15$, et les deux angles du membre de droite viennent d’être construits.

$\sin 3^\circ = \sin(18^\circ - 15^\circ) = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ.$

En reportant les quatre valeurs obtenues :

$\sin 3^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}{4} \times \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt5}}{4} \times \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4},$

soit, en mettant tout sur le même dénominateur,

$\boxed{\ \sin 3^\circ = \frac{\left(\sqrt5 - 1\right)\left(\sqrt6 + \sqrt2\right) - \sqrt{10 + 2\sqrt5}\left(\sqrt6 - \sqrt2\right)}{16}\ }$

La vérification décimale par décimale, celle que demandait l’énoncé. Le numérateur vaut $0{,}83737529988710\ldots$, donc

	valeur
expression exacte, divisée par 16	$0{,}05233595624294383\ldots$
donnée R2 du devoir	$0{,}0523359562$
$\sin 3^\circ$ recalculé	$0{,}05233595624294383\ldots$

L’accord est total : l’expression par radicaux est $\sin 3^\circ$, et la donnée R2 du devoir en est la troncature à dix décimales. Vous venez de fabriquer, à la main et sans calculatrice, la constante sur laquelle toute la machine de Samarcande a tourné.

C’est aussi la réponse à la question du paragraphe 5 de la page sur les marges : si l’on veut plus de décimales de $\sin 1^\circ$, il faut plus de décimales de $\sin 3^\circ$ ; cette formule en fournit autant que l’on veut, puisqu’elle ne contient que des racines carrées, que l’on sait extraire à la précision souhaitée. Par la méthode de Héron, précisément.

Q21 d) · L’identité R1, enfin démontrée

Il ne reste qu’à établir le résultat admis dès la première page du devoir. La clé est de couper $3A$ en $2A + A$.

$$\begin{aligned} \sin 3A &= \sin(2A + A) = \sin 2A \cos A + \cos 2A \sin A\\ &= \left(2 \sin A \cos A\right)\cos A + \left(1 - 2\sin^2 A\right)\sin A\\ &= 2 \sin A \cos^2 A + \sin A - 2 \sin^3 A\\ &= 2 \sin A \left(1 - \sin^2 A\right) + \sin A - 2 \sin^3 A \qquad (\cos^2 A = 1 - \sin^2 A)\\ &= 2 \sin A - 2 \sin^3 A + \sin A - 2 \sin^3 A. \end{aligned}$$

$\boxed{\ \forall A, \quad \sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A\ }$

Aucune hypothèse sur $A$ : l’identité vaut pour tout angle, aigu ou non, et c’est bien ce qu’annonçait R1. La troisième ligne est le seul endroit où il faut être attentif, celui où $\cos^2 A$ doit être remplacé pour que tout s’exprime en $\sin A$ : sans cette substitution, on obtient une identité vraie mais inutilisable, parce qu’elle mêle sinus et cosinus.

Contrôle numérique de la boucle. Avec $A = 1^\circ$ :

$3\sin 1^\circ - 4\sin^3 1^\circ = 0{,}05233595624294383\ldots = \sin 3^\circ.$

L’écart est nul à la précision de calcul (60 chiffres). L’identité de la première page est vraie, et vous venez de la démontrer.

La boucle est bouclée

Regardez ce que le devoir vient de faire, dans l’ordre inverse de celui où vous l’avez parcouru.

1. Les formules d’addition, héritières de la table des cordes de Ptolémée, donnent $\sin 15^\circ$ et $\sin 18^\circ$ sous forme exacte.
2. La différence $3 = 18 - 15$ donne $\sin 3^\circ$ sous forme exacte, contournant le verrou de la trisection.
3. Les mêmes formules démontrent l’identité $\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$, qui transforme la question « combien vaut $\sin 1^\circ$ ? » en l’équation cubique $3x - 4x^3 = q$.
4. Le théorème des valeurs intermédiaires et sa version stricte garantissent que cette équation a une solution et une seule dans $[0\,;0{,}06]$ (partie I).
5. La machine $x \mapsto \frac{q + 4x^3}{3}$, contraction démontrée en partie III, va la chercher chiffre par chiffre (parties II et IV).

Le devoir entier tenait sur les formules de cet atelier. Un homme de 1424 a fabriqué à la main quatorze décimales exactes d’un nombre que la géométrie déclarait inaccessible, en enchaînant ces cinq étapes.

Et la calculatrice de la question Q1 ne procède pas autrement. Derrière chaque touche $\sin$ travaillent des itérations, filles de celle de Samarcande, et le théorème du point fixe veille sur chacune d’elles.

Sources

• DM1 F1, Le sinus du degré, partie VI, L’atelier du secret, et préliminaires R1 et R2.
• Ptolémée, Almageste, livre I, chapitre 10, pour la table des cordes et le verrou de la trisection.
• Euclide, Éléments, livre XIII, pour le pentagone régulier et la « moyenne et extrême raison ».
• Toutes les valeurs de cette page ont été recalculées en précision arbitraire ; l’expression par radicaux de $\sin 3^\circ$ coïncide avec $\sin 3^\circ$ à mieux que $10^{-30}$ près.