Les marges du manuscrit de Samarcande

Le DM Le sinus du degré a laissé cette dette ouverte. Il a montré la machine d’al-Kashi, il en a démontré la contraction, il a compté ses décimales. Mais d’où vient ce que nous savons de lui ? De marges. De phrases griffonnées à côté du texte, par des lecteurs successifs, sur des feuillets recopiés à la main pendant des siècles. Voici cette chaîne, et ce qu’un recalcul moderne lui fait dire.

1. L’homme, la ville, la valeur

Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi naît à Kashan, en Perse, dans les dernières années du XIV^e siècle. Astronome et calculateur, il achève en 1413 ou 1414 un ensemble de tables astronomiques, le Zij-i Khaqani, qui refond et corrige les tables ilkhanides de Maragha. Ulugh Beg, petit-fils de Tamerlan, gouverneur de Samarcande et astronome lui-même, le fait venir dans sa capitale. Al-Kashi y devient la première autorité scientifique de l’observatoire, et y meurt en 1429.

Son problème est celui du DM : calculer $\sin 1^\circ$. La géométrie grecque savait construire $\sin 3^\circ$, par le pentagone et les bissections ; elle ne savait pas trisecter un angle quelconque, donc pas descendre de $3^\circ$ à $1^\circ$. Al-Kashi contourne le verrou par l’algèbre : il écrit l’équation cubique de la triplication, la retourne en machine

$x = \frac{q + 4x^3}{3} \qquad \text{avec } q = \sin 3^\circ,$

et la fait tourner. Trois décimales par tour, sans un seul test à surveiller. Le DM en a démontré le mécanisme jusqu’au bout.

Sa valeur, ramenée en base soixante comme il l’écrivait :

$\operatorname{Sin} 1^\circ = 60 \sin 1^\circ = 1;2,49,43,11,14,44,16,\ldots$

2. La glose : « que Dieu lui pardonne »

Le texte qui décrit la méthode nous parvient par un manuscrit conservé à Londres, dans le fonds de l’ancienne India Office Library (manuscrit 430). Sur le folio 32 recto, à côté du texte, des notes marginales. Ce ne sont pas des ornements : sans elles, nous ne saurions ni qui a écrit, ni quand, ni dans quelles circonstances.

• Une note de l’auteur signale que les anciens n’avaient trouvé aucune méthode pour ce calcul, et se referme sur la formule pieuse « que Dieu lui pardonne », prière d’usage pour un défunt.
• Cette formule a une conséquence datante : celui qui écrit ces mots écrit après la mort de l’homme qu’il nomme. La note n’est donc pas de la main d’al-Kashi lui-même, ou pas dans cet état ; elle est d’un scribe postérieur à 1429, qui recopie et commente.
• Une autre note situe son propre moment par un événement politique : elle mentionne le sultan Ulugh Beg comme martyr. Ulugh Beg a été assassiné en 1449, sur ordre de son propre fils. Ce membre de phrase date donc la couche d’écriture : après 1449.

Voilà toute la méthode de l’histoire des sciences dans une marge de dix mots. On ne date pas un texte scientifique par son contenu mathématique, qui est intemporel : $\sin 1^\circ$ a la même valeur en 1424 et aujourd’hui. On le date par ce qui déborde du calcul, une prière pour un mort, un titre donné à un souverain, une écriture, une reliure.

3. La chaîne des copistes

Entre al-Kashi et nous, il y a une file de mains. Chacune recopie, parfois commente, parfois se trompe.

Vers	Qui	Ce qui se passe
1424	al-Kashi	Le calcul de $\sin 1^\circ$, dans un traité sur la corde et le sinus
1427	al-Kashi	La Clé de l’arithmétique mentionne ce traité dans sa préface
1429		Mort d’al-Kashi à Samarcande
après 1429	un scribe	Copie et glose : « que Dieu lui pardonne »
après 1449	un scribe	Glose datante : Ulugh Beg y est nommé martyr
vers 1498	Mirim Chelebi	Commentaire des tables d’Ulugh Beg : la méthode est expliquée et transmise
XIXe–XXe s.	bibliothèques	Le manuscrit rejoint les collections européennes
1950	Aaboe, Kennedy	Traduction, analyse et diffusion de la méthode

Mirim Chelebi mérite un mot. Petit-fils de deux des savants de l’entourage d’Ulugh Beg, il rédige vers 1498, trois quarts de siècle après la mort d’al-Kashi, un commentaire des tables de Samarcande où la méthode d’itération est exposée. C’est en grande partie par lui que le procédé a circulé. Et c’est aussi lui qui fournit la meilleure illustration de ce que coûte une transmission.

4. Le recalcul : là où la chaîne casse

Voici l’exercice que le DM a promis. On prend les chiffres tels que les manuscrits les portent, on les convertit, et on compare à la valeur exacte, recalculée en précision arbitraire.

La donnée de départ, $\operatorname{Sin} 3^\circ$. Al-Kashi part de $3;8,24,33,59,34,28,15$. Valeur exacte : $3;8,24,33,59,34,28,14,50,\ldots$ Le dernier chiffre, $15$, est l’arrondi correct de $14;50$ : la donnée de départ est impeccable, à $5{,}9 \times 10^{-14}$ près.

Mais dans la transmission, ce nombre se met à bouger. Chelebi le recopie avec un $32$ là où il fallait un $34$, au cinquième chiffre fractionnaire. Effet sur la donnée :

Version	$\operatorname{Sin} 3^\circ$	écart à la valeur exacte
al-Kashi	$3;8,24,33,59,34,28,15$	$5{,}9 \times 10^{-14}$
copie fautive	$3;8,24,33,59,32,28,15$	$2{,}6 \times 10^{-9}$

Un seul chiffre de travers, et la précision perd cinq ordres de grandeur. La qualité de l’entrée gouverne la qualité de la sortie : c’est exactement l’objet de la question Q17 du DM, la propagation d’une erreur sur $q$ jusqu’à $x^*$.

Le résultat, $\operatorname{Sin} 1^\circ$. La glose porte dix chiffres sexagésimaux :

$1;2,49,43,11,14,44,16,19,16.$

Comparons, chiffre par chiffre, à la valeur exacte recalculée :

$1;2,49,43,11,14,44,16,\underline{26,18},28,\ldots$

Les huit premiers chiffres coïncident, l’entier compris. Les deux derniers ne résistent pas au recalcul : la glose porte $19,16$ là où le calcul exact donne $26,18$.

Cela n’ôte presque rien à la performance. En ramenant à $\sin 1^\circ$, la valeur de la glose vaut $0{,}01745240643728281\ldots$ contre $0{,}01745240643728351\ldots$ : l’écart est de $7{,}0 \times 10^{-16}$, soit quatorze décimales exactes, à la main, en base soixante, en 1424. La formulation prudente, et c’est celle du DM, est donc : la valeur est exacte jusqu’au huitième chiffre sexagésimal, ce qui correspond à mieux que treize décimales.

Ce que l’on ne peut pas trancher. D’où vient l’erreur sur les deux derniers chiffres ? Trois hypothèses restent ouvertes, et rien dans le calcul ne permet de choisir : al-Kashi a pu s’arrêter avant et laisser un scribe compléter ; un copiste a pu mal lire ; ou l’écart peut venir de l’édition moderne dans laquelle ces chiffres ont été lus. Certaines éditions du commentaire de Chelebi portent d’ailleurs des dernières places divergentes. Un mathématicien peut affirmer que les deux derniers chiffres sont faux, parce que le calcul le prouve ; il ne peut pas dire qui s’est trompé, et il n’a pas à le deviner.

5. Ce que valait la méthode ancienne

Un dernier chiffre, pour mesurer le saut. Avant al-Kashi, on obtenait $\sin 1^\circ$ par la voie ptoléméenne améliorée, en encadrant à partir de valeurs constructibles. Cette voie donnait

$1;2,49,43,13,5,$

fausse dès le quatrième chiffre fractionnaire ($13$ au lieu de $11$). En décimal, cela fait $\sin 1^\circ \approx 0{,}0174524088$, exact à $2{,}4 \times 10^{-9}$ près : sept décimales.

Sept décimales par la géométrie grecque poussée à bout, quatorze par une itération de trois lignes. Le rapport n’est pas de deux, il est exponentiel : c’est le passage d’un encadrement statique à une machine qui améliore sa propre réponse. Toute la seconde moitié du chapitre F1 est là.

6. La morale, et elle est double

Première morale, celle du DM. Les mathématiques sont exactes, leur transmission ne l’est pas. La valeur de $\sin 1^\circ$ est un nombre parfaitement déterminé ; ce qui nous en parvient est passé par des mains, des yeux fatigués, des roseaux taillés, des feuillets recopiés dans des langues successives. Même les transmetteurs se trompent, et le seul recours est le recalcul.

Seconde morale, plus profonde. C’est ce recalcul qui rend justice à al-Kashi. En vérifiant ses chiffres, on ne le prend pas en défaut : on mesure ce qu’il a réellement accompli, et on découvre que c’est plus impressionnant que ce que la tradition en disait. Quatorze décimales exactes en 1424, sur un objet que la géométrie déclarait inaccessible, avec une machine dont personne ne saura démontrer la convergence avant Picard en 1890 et Banach dans les années 1920.

Il avait raison sans savoir pourquoi. Le DM, lui, vous a fait démontrer pourquoi.

Sources

• DM1 F1, Le sinus du degré, encadré historique de la partie II et question Q17.
• Manuscrit de l’ancienne India Office Library n° 430, folio 32r, pour les gloses.
• Asger Aaboe, « Al-Kāshī’s iteration method for the determination of $\sin 1^\circ$ », Scripta Mathematica, vol. 20 (1954) ; travaux d’E. S. Kennedy sur l’astronomie de Samarcande.
• Mirim Chelebi, commentaire des tables d’Ulugh Beg, vers 1498.
• Toutes les conversions sexagésimales et tous les écarts de cette page ont été recalculés en précision arbitraire (60 chiffres de travail).