Vrai ou légende : Newton faisait-il glisser un point le long des tangentes ?

Le quatrième numéro des Coulisses, L’envers de la limite, s’est refermé sur une affirmation à trancher :

Pour approcher les racines d’une équation, Newton faisait glisser un point le long des tangentes à la courbe.

Voici le verdict promis. Il tient en un mot, puis en une chronologie, puis en une leçon sur la manière dont les méthodes reçoivent leur nom.

Le verdict : légende

C’est une légende. Le dessin que tout le monde a en tête, la courbe, la tangente au point courant, son intersection avec l’axe qui devient le point suivant, n’apparaît nulle part chez Newton. Le texte qui fonde la méthode, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, rédigé en 1669 et imprimé seulement en 1711, ne contient à cet endroit aucune figure, aucune tangente, aucune dérivée, et pas même une formule que l’on itérerait. C’est un procédé purement algébrique de correction de chiffres.

Ce que Newton fait réellement en 1669

Son exemple est resté célèbre :

$y^3 - 2y - 5 = 0.$

Il observe que la racine est voisine de $2$ (la valeur exacte est $2{,}09455148\ldots$), et il pose $y = 2 + p$. En développant,

$(2+p)^3 - 2(2+p) - 5 = p^3 + 6p^2 + 10p - 1.$

Puisque $p$ est petit, il jette les termes $p^3$ et $6p^2$, et résout ce qui reste : $10p - 1 = 0$, donc $p \approx 0{,}1$. Il recommence alors sur l’équation en $p$ : il pose $p = 0{,}1 + q$, développe à nouveau, néglige à nouveau les puissances supérieures, et obtient $q \approx -0{,}0054$. Puis $q = -0{,}0054 + r$, et ainsi de suite.

Trois traits, et chacun contredit la légende.

• Aucune tangente. Ce qui joue le rôle de la pente, le coefficient $10$ de la première étape, sort d’un développement algébrique, pas d’un calcul de dérivée ni d’un tracé.
• Aucune formule itérée. Newton ne réinjecte pas une valeur dans une machine du type $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Il fabrique à chaque tour une équation nouvelle, celle qui porte sur la correction, et la traite comme la précédente. Le procédé ressemble beaucoup plus à une extraction de racine carrée à la main, chiffre après chiffre, qu’à une suite récurrente.
• Aucune fonction quelconque. La méthode ne vaut, telle qu’elle est écrite, que pour les polynômes, parce qu’elle repose sur le développement de $(a+p)^n$.

Le Method of Fluxions, rédigé vers 1671 et publié après sa mort en 1736, reprend le même traitement algébrique et l’étend aux expressions développables en série. Toujours pas de tangente.

Trois hommes pour une méthode

La formule que vous connaissez a mis soixante-dix ans à se former, et elle est l’œuvre de trois auteurs.

Étape	Qui	Apport
1669	Isaac Newton	Correction chiffre à chiffre, par substitutions successives ; une nouvelle équation à chaque tour
1690	Joseph Raphson	Une itération véritable : la correction se calcule directement à partir de l’équation de départ, jamais réécrite
1740	Thomas Simpson	La dérivée entre en scène : $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, valable pour des fonctions quelconques et pour les systèmes

Joseph Raphson publie en 1690 son Analysis aequationum universalis. Sa contribution est décisive et sous-estimée : il garde l’équation initiale du début à la fin et calcule la correction directement, ce qui transforme une cascade de réécritures en une véritable boucle. C’est pourquoi les auteurs soigneux écrivent « méthode de Newton–Raphson », et non « méthode de Newton ».

Thomas Simpson, en 1740, franchit le dernier pas dans ses Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix’d Mathematicks : il énonce la méthode en termes de fluxions, c’est-à-dire de dérivées, l’applique à des équations qui ne sont plus des polynômes, et la généralise aux systèmes de deux équations à deux inconnues. La formule du chapitre est la sienne.

Reste la tangente. Elle n’a jamais été chez Newton une étape de calcul : elle est devenue, chez les pédagogues du XIX^e siècle, l’image qui explique la formule de Simpson. L’image est excellente, et la Coulisses s’en sert : elle fait comprendre d’un coup d’œil pourquoi la méthode est si rapide près de la racine, et pourquoi elle s’affole quand $f'$ passe près de zéro. Elle est simplement postérieure d’un siècle et demi à l’homme dont elle porte le nom.

Ce qu’on peut dire sans se tromper

Une formulation honnête, en une phrase : Newton (1669) a inventé un procédé algébrique de correction successive des chiffres d’une racine ; Raphson (1690) en a fait une itération ; Simpson (1740) l’a écrite avec la dérivée et lui a donné sa portée générale ; l’interprétation par les tangentes est une lecture postérieure.

Et deux prudences, pour ne rien affirmer de trop.

• Il y a des précurseurs. Des procédés voisins de correction chiffre à chiffre circulent bien avant 1669 : chez les mathématiciens de langue arabe du XII^e siècle, dans le monde chinois avec les schémas d’extraction de racines, et chez François Viète dont Newton connaissait le De numerosa potestatum resolutione (1600). L’idée de « corriger une approximation en linéarisant » n’a pas de date de naissance nette.
• Attribuer une méthode n’est pas la même chose que la comprendre. C’est la vraie morale, la même qu’au chapitre A2 avec le triangle arithmétique : les noms propres accrochés aux théorèmes racontent la circulation des idées, rarement leur invention. Ce qui appartient en propre à Newton, ce n’est pas la tangente, c’est l’idée que l’on peut fabriquer les décimales d’un nombre une à une quand aucune formule ne le livre d’un coup. C’est exactement le programme du chapitre F1, et c’est aussi celui du DM de Samarcande, écrit deux siècles et demi plus tôt.

Sources

• Pièce 34 des Coulisses n°4, Deux façons d’attraper une racine, et le paragraphe 6 du cours F1.
• Isaac Newton, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, rédigé en 1669, imprimé en 1711 ; The Method of Fluxions and Infinite Series, rédigé vers 1671, publié en 1736.
• Joseph Raphson, Analysis aequationum universalis, Londres, 1690.
• Thomas Simpson, Essays on Several Curious and Useful Subjects in Speculative and Mix’d Mathematicks, Londres, 1740.
• Sur la chronologie et l’absence de tangente chez Newton, la référence est T. J. Ypma, « Historical development of the Newton–Raphson method », SIAM Review, vol. 37 (1995).