La règle à calcul

Le paragraphe 2 du cours porte une figure discrète : une droite où le nombre $x$ est placé à la distance $\ln x$ de l’origine, et deux accolades qui montrent que $\ln 2 + \ln 4 = \ln 8$. Mettre bout à bout des longueurs, c’est multiplier.

Cette figure n’est pas une illustration. C’est le plan de fabrication de l’instrument qui a calculé tout ce que le vingtième siècle a construit.

Le principe, en une phrase

Graduez une baguette en plaçant chaque nombre $x$ à la distance proportionnelle à $\log x$ de son extrémité gauche. Sur une telle baguette, la distance entre les nombres $a$ et $b$ vaut $\log b - \log a = \log \frac{b}{a}$ : elle ne dépend que du rapport des deux nombres, jamais de leur différence.

Prenez maintenant deux baguettes identiques et faites-les glisser l’une contre l’autre. Amenez le $1$ de la seconde en face du nombre $a$ de la première. Alors, en face de n’importe quel nombre $b$ de la seconde, vous lisez sur la première le nombre situé à la distance $\log a + \log b = \log(ab)$ de l’origine, c’est-à-dire

$\boxed{\ \log a + \log b = \log(ab)\ }$

(pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$),

le produit $ab$. La règle n’additionne pas et ne multiplie pas : elle transporte des longueurs, et c’est la graduation logarithmique qui transforme ce transport en multiplication. La propriété fondamentale de votre paragraphe 2 est ici devenue un geste de la main.

Une règle à fabriquer

Voici les cotes exactes, pour une échelle de $250$ mm portant les nombres de $1$ à $10$. La position du nombre $x$ vaut $250 \times \log x$ millimètres (valeurs recalculées, arrondies au centième de millimètre).

$x$	Position	$x$	Position
$1$	$0{,}00$ mm	$6$	$194{,}54$ mm
$1{,}5$	$44{,}02$ mm	$7$	$211{,}27$ mm
$2$	$75{,}26$ mm	$8$	$225{,}77$ mm
$3$	$119{,}28$ mm	$9$	$238{,}56$ mm
$4$	$150{,}51$ mm	$10$	$250{,}00$ mm
$5$	$174{,}74$ mm

Le script qui les produit, si vous voulez d’autres longueurs ou une graduation plus fine :

from math import log10

L = 250.0  # longueur de l'echelle, en millimetres

for x in [1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]:
    print(f"{x:>4} -> {L * log10(x):8.2f} mm")

Imprimez deux exemplaires de cette échelle, découpez-les, faites-les coulisser. Vérifiez $2 \times 3$ : le $1$ de la seconde règle en face du $2$ de la première place le $3$ de la seconde à $75{,}26 + 119{,}28 = 194{,}54$ mm de l’origine, et $194{,}54$ mm est très exactement la position du $6$. L’instrument est juste, et il n’a rien calculé.

1620-1632 : Gunter, Oughtred, et une querelle de priorité

L’histoire commence six ans après les tables de Napier. En 1620, Edmund Gunter, d’Oxford, grave une échelle logarithmique unique sur une règle de deux pieds. Ce n’est pas encore une règle à calcul : pour multiplier, il faut reporter les longueurs au compas à pointes sèches. Les navigateurs l’adoptent immédiatement, et cette « ligne de Gunter » restera en usage à bord pendant deux siècles.

Vers 1622, William Oughtred, de Cambridge, fait le geste qui manquait : il pose deux règles de Gunter côte à côte et les fait glisser. Le compas devient inutile. Il imagine également des cercles de proportion, où les deux échelles sont enroulées, ce qui supprime le problème des dépassements de graduation. Ses travaux sont publiés par son élève William Forster en 1632 et 1653.

Suit alors une querelle de priorité d’une violence remarquable. Un autre de ses élèves, Richard Delamain, publie une description d’un instrument circulaire et revendique l’invention ; Edmund Wingate produit lui aussi des prétentions antérieures. Oughtred s’estime trahi et le fait savoir. Ni les uns ni les autres n’auront le dernier mot : c’est la règle coulissante d’Oughtred qui a survécu, et c’est Gunter qui avait eu l’idée de la graduation. Les querelles de priorité sont, à cette époque, aussi constantes que le logarithme de Napier : les Coulisses de ce chapitre en ont raconté une autre, entre Napier et Bürgi.

L’instrument prend sa forme définitive bien plus tard. En 1859, le Français Amédée Mannheim, polytechnicien et officier d’artillerie, fixe la disposition des échelles et ajoute le curseur, ce cavalier de verre portant un trait fin qui permet d’aligner des graduations d’échelles non adjacentes. C’est le modèle Mannheim que des générations d’ingénieurs auront dans la poche.

Ce que l’instrument savait, et ce qu’il ne savait pas

Une règle à calcul multiplie, divise, élève au carré, extrait des racines, donne des sinus et des tangentes, et compose tout cela en un seul mouvement. Elle est incapable d’additionner.

Elle a un second défaut, plus intéressant. Elle ne donne aucun ordre de grandeur. La position du $2$ et celle du $200$ sont la même : la règle rend la mantisse, jamais la puissance de dix. L’ingénieur qui calcule $37 \times 4\,800$ y lit les chiffres $1$, $7$, $8$, et c’est à lui de savoir que le résultat vaut $177\,600$ et non $17\,760$ ou $1\,776\,000$. Toute une génération a donc été dressée à estimer mentalement l’ordre de grandeur avant de faire le calcul, sous peine de se tromper d’un facteur dix sur un pont.

Reste la précision. Sur une échelle de $250$ mm, une lecture au dixième de millimètre correspond à une erreur relative

$\frac{\Delta x}{x} = \ln(10) \times \frac{0{,}1}{250} \approx 0{,}092\,\%,$

et une lecture plus réaliste, au quart de millimètre, donne $0{,}23\,\%$ (valeurs recalculées). C’est la fameuse limite des trois chiffres significatifs, et elle est structurelle : la seule façon de gagner un chiffre serait de multiplier la longueur de l’instrument par dix. Certains l’ont fait, avec des règles cylindriques de plusieurs mètres d’échelle enroulée.

Trois chiffres significatifs. Les ponts, les barrages, les fuselages, les moteurs à réaction et les trajectoires interplanétaires du vingtième siècle ont été dimensionnés avec trois chiffres significatifs, et ils tiennent debout.

La graduation inégale, et pourquoi elle est inégale

Prenez votre règle imprimée et regardez-la. L’intervalle de $1$ à $2$ occupe presque un tiers de la longueur ; celui de $9$ à $10$ tient dans un centimètre. Voici les largeurs, en pourcentage de l’échelle (recalculées).

De	À	Largeur
$1$	$2$	$30{,}10\,\%$
$2$	$3$	$17{,}61\,\%$
$3$	$4$	$12{,}49\,\%$
$4$	$5$	$9{,}69\,\%$
$5$	$6$	$7{,}92\,\%$
$6$	$7$	$6{,}69\,\%$
$7$	$8$	$5{,}80\,\%$
$8$	$9$	$5{,}12\,\%$
$9$	$10$	$4{,}58\,\%$

Ces neuf nombres, vous les avez déjà rencontrés. Ce sont exactement les proportions de la loi de Benford, celle des pages sales des tables de logarithmes, racontée dans les Coulisses de ce chapitre et dans l’extra « Les pages sales » : $\log\left(1 + \frac1d\right)$, ligne après ligne. La raison est la même des deux côtés, et elle est simple : une règle à calcul est une échelle où seule la mantisse compte, et la loi de Benford dit que ces mantisses sont uniformément réparties. Le chiffre $1$ occupe trente pour cent de la règle parce qu’il ouvre trente pour cent des nombres.

L’instrument portait sa propre statistique gravée dans le bois, et il a fallu attendre Newcomb en 1881 pour que quelqu’un s’en aperçoive, en regardant non pas la règle, mais l’usure des tables.

Apollo, puis 1972

Le règne dure trois siècles et demi. Tout ce qui a été conçu entre Oughtred et les années soixante-dix est passé par là : la machine à vapeur, le pont de Brooklyn, la tour Eiffel, le Concorde. En 1969, des règles à calcul Pickett en aluminium accompagnent les missions Apollo ; le modèle N600-ES qui appartenait à Buzz Aldrin est parti avec lui vers la Lune sur Apollo 11, et il a été vendu aux enchères en 2007. Un instrument de 1622, à bord d’un vaisseau lunaire.

La fin arrive en 1972, et elle est brutale. Hewlett-Packard met sur le marché la HP-35, première calculatrice scientifique de poche : elle fait les logarithmes, les exponentielles et la trigonométrie, à dix chiffres significatifs, dans la poche d’une chemise. Elle coûte $395$ dollars de 1972, une somme considérable, et se vend malgré tout à cent mille exemplaires la première année, plus de trois cent mille au total. Elle est retirée du catalogue dès 1975, remplacée par mieux.

L’appellation « règle à calcul électronique » a circulé autour de l’objet, jusque sur les étuis de ceinture qui remplacèrent ceux des règles. En 1976, une calculatrice scientifique coûtait moins de vingt-cinq dollars, et les universités retiraient les cours de règle à calcul de leurs programmes.

Trois cent cinquante-deux ans entre la ligne de Gunter et la HP-35. Quatre ans entre la HP-35 et la disparition de l’instrument. Peu de technologies ont été aussi longtemps indispensables, puis aussi vite inutiles.

Ce qui reste

L’objet est mort, le principe non. Chaque fois que vous voyez un axe gradué en $1$, $10$, $100$, $1000$ à distances égales, sur un graphique de croissance, un sismogramme, un spectre ou une courbe épidémique, vous regardez une règle de Gunter. Chaque fois qu’un ordinateur multiplie deux nombres flottants, il additionne leurs exposants, ce qui est exactement le geste d’Oughtred. Et chaque fois que vous écrivez $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, vous écrivez la notice de l’instrument.

Sources

• Cours F3, paragraphe 2 (la figure de la droite graduée logarithmiquement et sa marge) et paragraphe 7 ; Coulisses n°6, brève Trois cent cinquante ans de règne et pièce 51 Les pages sales et le chiffre 1.
• Sur Gunter (1620), Oughtred (vers 1622, publié par Forster en 1632 et 1653), la querelle avec Delamain et Wingate, le curseur de Mannheim (1859), la limite des trois chiffres significatifs et les règles Pickett d’Apollo : la notice Slide rule de Wikipédia en anglais et la Petite histoire de la règle à calcul publiée par l’APMEP.
• Sur la HP-35 (1972, $395$ dollars, cent mille exemplaires la première année, retirée en 1975) : la notice HP-35 de Wikipédia en anglais.
• Les positions de graduation, les largeurs d’intervalles et les erreurs relatives de lecture ont toutes été recalculées ; le script Python ci-dessus reproduit la première table.