Vingt ans dans un manoir écossais

Le cours résume l’affaire en une marge : vingt ans de calcul, des tables, la gloire. Les Coulisses n°6 ont montré la machine, la course des deux mobiles, et le péage que chaque multiplication devait payer. Reste une question que ni l’un ni l’autre n’ont posée : vingt ans à faire quoi, exactement ?

Ce que « vingt ans » veut dire

John Napier, huitième laird de Merchiston, né vers 1550 près d’Édimbourg, mort en 1617, commence vers 1594. La Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio paraît en 1614 ; la recette de fabrication, elle, ne sera publiée qu’après sa mort, en 1619, dans la Constructio. C’est là que l’on découvre ce qu’il a fait de ces vingt années : trois tables emboîtées, et rien d’autre que des soustractions.

La première contient cent une valeurs, obtenues en partant de $10^7$ et en multipliant à chaque pas par $1 - 10^{-7}$. Le choix de ce facteur n’a rien d’esthétique : il est le cœur de tout le dispositif. Multiplier un nombre par $1 - 10^{-7}$, c’est lui retrancher lui-même décalé de sept rangs. Aucune multiplication n’est jamais posée : on décale, on soustrait, on recommence. La première ligne donne $10^7 - 1 = 9\,999\,999$, la centième donne $9\,999\,900{,}000\,495$, et le logarithme de Napier y progresse d’une unité par ligne, de $0$ à $100$.

La deuxième table reprend le procédé avec le facteur $1 - 10^{-5}$, sur cinquante et un termes, et couvre les logarithmes de $0$ à $5\,000$. La troisième est un tableau à double entrée : soixante-neuf colonnes, vingt et une lignes, de raison $1 - \frac{1}{100}$ d’une colonne à l’autre et $1 - \frac{1}{2000}$ d’une ligne à l’autre. Sa dernière case vaut $4\,998\,609$ (recalculé), c’est-à-dire un cheveu au-dessous de la moitié de $10^7$.

Table	Facteur	Nombre de valeurs	Plage de $\mathrm{NapLog}$
Première	$1 - 10^{-7}$	$101$	$0$ à $100$
Deuxième	$1 - 10^{-5}$	$51$	$0$ à $5\,000$
Troisième	$1 - \frac{1}{100}$ et $1 - \frac{1}{2000}$	$69 \times 21$	$0$ à $6\,934\,253$

Le reste, ce sont des interpolations, des vérifications croisées, et des erreurs à traquer une par une sur des nombres à huit chiffres. Vingt ans, seul, sans machine et sans personne à qui montrer le travail.

Une table de sinus, pas une table de nombres

Voici le détail que tout le monde oublie, et qui explique d’un coup la forme bizarre de la fonction.

La Descriptio de 1614 ne tabule pas les logarithmes des entiers. Elle tabule les logarithmes des sinus, angle par angle, de $0^\circ$ à $90^\circ$, minute par minute : $90 \times 60 = 5\,400$ entrées. Napier n’écrit pas pour des comptables, il écrit pour des astronomes et des navigateurs, dont tous les calculs sont trigonométriques.

Or les tables de trigonométrie de la fin du seizième siècle ne donnent pas des nombres entre $0$ et $1$, parce que les décimales sont encore peu maniables. Elles donnent des longueurs, dans un cercle dont le rayon, le sinus totus, est un grand nombre rond. Beaucoup d’entre elles avaient déjà choisi $10^{7}$.

Tout s’éclaire alors. Le $10^{7}$ de Napier n’est pas une constante d’analyse, c’est le rayon du cercle des astronomes. La longueur du segment sur lequel court le point freiné, c’est le sinus total. Et la valeur $\mathrm{NapLog}\left(10^{7}\right) = 0$, si déroutante pour nous, est la chose la plus naturelle du monde pour un lecteur de 1614 : le logarithme du sinus le plus grand, celui de l’angle droit, vaut zéro, et tous les autres sont positifs et croissent quand l’angle diminue.

Le logarithme de 1614 est décroissant parce qu’il compte à rebours depuis le sinus total. Ce n’est pas une maladresse. C’est une fonction taillée sur mesure pour l’usage qu’on en attendait, et cet usage n’était pas le nôtre.

(Les Coulisses laissaient une question ouverte : à quelle distance restante le point libre a-t-il parcouru exactement $10^{7}$ ? La réponse, qui fait surgir le nombre $\mathrm{e}$ dans une table de 1614, est démontrée dans l’extra « Les tiroirs du numéro 6 ».)

Le péage, chiffré

Les Coulisses ont démontré en trois lignes que l’addition de deux logarithmes de Napier donne celui du produit augmenté d’une constante, $\mathrm{NapLog}(1) = 10^{7}\ln 10^{7} \approx 161\,180\,957$. Voici la même chose sous forme de facture, sur quatre produits quelconques (valeurs recalculées, arrondies à l’unité) : colonne « Somme », la somme $\mathrm{NapLog}(a) + \mathrm{NapLog}(b)$ ; colonne « Produit », le $\mathrm{NapLog}(ab)$ ; colonne « Écart », leur différence.

$a \cdot b$	Somme	Produit	Écart
$2 \cdot 3$	$304\,444\,318$	$143\,263\,362$	$161\,180\,957$
$4 \cdot 25$	$276\,310\,211$	$115\,129\,255$	$161\,180\,957$
$7 \cdot 11$	$278\,923\,859$	$117\,742\,902$	$161\,180\,957$
$20 \cdot 30$	$258\,392\,616$	$97\,211\,660$	$161\,180\,957$

La colonne de droite ne bouge jamais (la constante exacte vaut $161\,180\,956{,}51$ ; les écarts d’une unité qu’on croit voir en soustrayant les valeurs affichées ne sont que des arrondis), et c’est là toute la beauté du défaut : il est constant, donc corrigeable mécaniquement. Un calculateur de 1615 additionnait ses deux logarithmes, retranchait ce nombre appris par cœur, et rentrait dans la table. C’était pénible, ce n’était pas insurmontable, et cela suffisait à faire gagner des mois. C’est très exactement ce péage que Briggs vient abolir à Édimbourg en imposant $\log 1 = 0$ : la constante parasite est précisément $\mathrm{NapLog}(1)$, et une fonction qui s’annule en $1$ ne la produit plus.

Bürgi, l’horloger qui avait raison six ans trop tôt

Pendant que Napier soustrait dans son manoir, un autre homme, sur le continent, fait le même travail sans le savoir.

Jost Bürgi (1552-1632) n’est pas un savant de cabinet. C’est un horloger, l’un des plus grands de son siècle, entré au service du landgrave Guillaume IV de Hesse-Cassel puis devenu horloger impérial à Prague, où il côtoie Kepler. Il construit des globes célestes mécaniques et des horloges à secondes, et il calcule pour les astronomes. Ses Arithmetische und Geometrische Progreß Tabulen sont prêtes vers 1600. Elles paraissent en 1620, six ans après Napier, alors que Kepler l’avait pressé de publier pendant des années.

Son système mérite le détour, parce qu’il est plus moderne que celui de Napier. Bürgi appelle « nombres noirs » une progression géométrique et « nombres rouges » la progression arithmétique associée :

$\text{nombre noir} = 10^{8} \times (1{,}0001)^{n}, \qquad \text{nombre rouge} = 10\,n.$

Le nombre rouge est croissant, il vaut $0$ pour le nombre noir $10^{8}$, et il atteint $230\,270$ quand le nombre noir atteint $10^{9}$ (recalculé : $999\,999\,780$, à deux dix-millionièmes près). Et comme $\ln(1{,}0001) = 0{,}000\,099\,995\ldots$ diffère de $10^{-4}$ de cinq cent-millièmes en valeur relative, le nombre rouge d’un nombre noir $B$ vaut, à cette précision près,

$\text{rouge}(B) \approx 10^{5} \ln \frac{B}{10^{8}}.$

Un logarithme népérien décalé et dilaté, croissant, nul en $10^{8}$ : Bürgi est plus proche de votre fonction que ne l’est Napier. Les historiens parlent volontiers de « tables logarithmiques sans logarithmes », parce que Bürgi ne définit rien, ne nomme rien et ne démontre rien : il tabule. C’est peut-être ce qui l’a perdu, autant que les six ans de retard.

« Népérien » : un hommage, pas une paternité

Récapitulons ce que la fonction de 1614 n’est pas. Elle n’est pas croissante. Elle ne vaut pas $0$ en $1$. Elle ne transforme pas les produits en sommes, mais en sommes moins cent soixante et un millions. Elle n’a pas de base, et son auteur n’aurait pas compris la question.

Alors pourquoi votre cours dit-il « logarithme népérien » ? Parce que Napier a forgé le mot lui-même, à partir du grec logos (rapport) et arithmos (nombre) : le nombre des rapports. Parce qu’il a eu, le premier, l’idée qu’une correspondance entre une progression géométrique et une progression arithmétique pouvait devenir un instrument de calcul universel. Et parce que l’histoire attache volontiers un nom propre à une idée, quitte à se tromper d’objet.

Napier n’a pas inventé le logarithme népérien. Il a inventé quelque chose de plus rare : l’idée qu’une fonction puisse être un outil.

Sources

• Cours F3, paragraphe 2 (la marge Napier · Kepler et la boîte Briggs) ; Coulisses n°6, pièce 48 Le laird qui arrêtait le temps, dont cette page prolonge le récit.
• John Napier, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, Édimbourg, 1614, et Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, publiée à titre posthume en 1619, où la fabrication des trois tables est décrite.
• Sur les tables de Bürgi et la formule des nombres rouges et noirs : la reconstruction du projet LOCOMAT, Bürgi’s Progress Tabulen (1620) : logarithmic tables without logarithms.
• Sur la question de la paternité : André Bonnet, « Neper a-t-il vraiment inventé les logarithmes népériens ? », APMEP.
• Sur le contenu de la Descriptio (cinq mille quatre cents logarithmes de sinus, le rayon $10^{7}$ hérité des tables trigonométriques de l’époque) : Accromath, « Émergence logarithmique : la mirifique invention de Napier ».
• Toutes les valeurs numériques de cette page (contenu des trois tables, la constante de péage, les nombres rouges de Bürgi) ont été recalculées en arithmétique à trente chiffres significatifs.