La querelle des cordes vibrantes

Les Coulisses du chapitre ont montré la mathématique des modes : la forme $x \mapsto \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, les harmoniques, le timbre qui distingue un la de guitare d’un la de piano. Cette page raconte l’autre versant : les hommes, les dates, et une dispute de quatre-vingts ans dont le butin n’est pas ce que l’on croit.

1747 : d’Alembert met la corde en équation

Jean le Rond d’Alembert n’a pas encore trente ans quand il réussit un coup d’éclat. Une corde tendue entre deux points fixes, écartée puis lâchée : quel est son mouvement ? Il obtient une équation qui relie la façon dont la corde se courbe en un point et l’accélération de ce point, la toute première équation d’onde de l’histoire, et, ce qui est plus rare, il la résout. Sa solution générale est d’une élégance parfaite : la forme de la corde est à chaque instant la superposition de deux ondes de même profil qui voyagent en sens contraires le long de la corde, et se réfléchissent aux extrémités.

Mais d’Alembert met une condition, et c’est elle qui allume l’incendie. Pour lui, la forme initiale de la corde doit être donnée par une formule, une « équation », comme on dit alors. Une expression algébrique, une seule, valable d’un bout à l’autre. Sans cela, écrit-il en substance, on ne peut rien calculer.

1748 : Euler et la corde tracée à main levée

Leonhard Euler proteste presque immédiatement. Son objection est physique, et elle est imparable : quand un musicien pince une corde de clavecin, il lui donne une forme en coin, deux segments de droite se rejoignant en pointe à l’endroit du doigt. Cette forme existe, la corde vibre, le son sort. Aucune formule unique ne la décrit. Faut-il en conclure que le phénomène n’a pas lieu ?

Euler admet donc des conditions initiales « tracées à main levée », c’est-à-dire des courbes quelconques, définies morceau par morceau, avec des angles. La physique, dit-il, n’a pas à attendre la permission de l’algèbre. D’Alembert refuse : une courbe sans formule n’est pas un objet mathématique, et la solution qu’on en tirerait n’aurait aucun sens.

Notez que les deux hommes ont raison, chacun dans son univers, et qu’ils ne peuvent pas se comprendre : ils ne mettent pas la même chose sous le mot fonction. Pour d’Alembert, une fonction est une formule. Pour Euler, c’est une courbe.

1753 : Daniel Bernoulli jette la bombe

Daniel Bernoulli, lui, vient de la physique des sons. Son idée est d’une autre nature, et elle est bien plus radicale que le désaccord précédent : toute vibration de la corde, quelle qu’elle soit, serait une superposition d’ondes sinusoïdales pures, le mode fondamental et ses harmoniques, ceux-là mêmes qu’une oreille exercée sait entendre séparément dans une note.

Son argument est musical avant d’être mathématique. On entend les harmoniques ; elles sont donc là ; donc la vibration est leur somme. En langage moderne, il propose d’écrire le mouvement comme une somme infinie de termes en $\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$, avec un coefficient par harmonique.

D’Alembert et Euler, pour une fois d’accord, jugent la proposition impossible. Leur objection est excellente, et c’est ce qui rend l’épisode si beau : chaque terme de la somme de Bernoulli est une courbe parfaitement lisse, une sinusoïde, sans le moindre angle. Comment une somme de courbes lisses fabriquerait-elle le coin d’une corde pincée ? Et si Bernoulli avait raison, il faudrait admettre que n’importe quelle courbe, aussi anguleuse soit-elle, est une somme de sinusoïdes. En 1753, l’affirmation est simplement inconcevable.

La dispute s’installe. Elle est vive, parfois désagréable, et elle ne se règle pas, parce qu’aucun des trois ne dispose du vocabulaire qui permettrait de trancher. Il manque tout ce que le chapitre F1 vous a donné : la notion de limite, celle de convergence d’une somme infinie, celle de continuité.

1807 : Fourier reprend la question par la chaleur

Un demi-siècle passe. Joseph Fourier, orphelin d’Auxerre devenu préfet de l’Isère après avoir accompagné Bonaparte en Égypte, travaille sur un tout autre problème : la propagation de la chaleur dans les corps solides. En 1807, il soumet à l’Académie des sciences un mémoire dans lequel il affirme, en substance, ce que Bernoulli avait dit de la corde : toute fonction périodique, même anguleuse, même discontinue, se décompose en somme de sinus et de cosinus.

L’accueil est réservé. Les rapporteurs, parmi lesquels Lagrange et Laplace, admirent le physicien et se méfient du mathématicien : la généralité de l’affirmation leur paraît excessive, et la rigueur des démonstrations insuffisante. Lagrange, qui avait lui-même travaillé sur la corde vibrante dans sa jeunesse, est le plus réticent. Le mémoire n’est pas publié. Fourier remanie son travail et remporte en 1811 le prix que l’Académie avait mis au concours sur la question, mais le rapport joint au prix maintient les réserves sur la rigueur.

Il faut attendre 1822 et la Théorie analytique de la chaleur pour que l’ouvrage paraisse enfin, avec l’épigraphe que le frontispice de votre cours reprend. Lagrange, lui, est mort en 1813 : le scepticisme dont on parle toujours à propos de Fourier se rattache au mémoire de 1807 et aux années qui l’ont suivi, pas au livre.

1829 : Dirichlet arbitre

L’affirmation de Fourier, telle quelle, était trop belle. C’est Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui, en 1829, publie le travail décisif : il énonce des conditions suffisantes portant sur la fonction, et démontre que, sous ces conditions, la série de sinus et de cosinus converge effectivement vers la fonction en tout point où celle-ci est continue. Aux points de saut, elle converge vers la demi-somme des deux valeurs limites, ce qui est une réponse nette à la question que personne n’avait su poser proprement.

Le verdict est donc mitigé, et c’est ce qui en fait une vraie histoire de sciences. Bernoulli avait raison sur le fond, quatre-vingts ans avant tout le monde, et il ne pouvait pas le démontrer. D’Alembert et Euler avaient raison de trouver l’affirmation trop générale : il a fallu la restreindre pour qu’elle devienne vraie. Personne n’a gagné, et le résultat est plus solide que ce que chacun défendait.

Date	Épisode
$1747$	D’Alembert : l’équation de la corde, et l’exigence d’une formule
$1748$	Euler : les formes « tracées à main levée » sont légitimes
$1753$	Daniel Bernoulli : tout est somme de modes sinusoïdaux
$1807$	Fourier soumet son mémoire ; rapporteurs sceptiques
$1822$	Théorie analytique de la chaleur
$1829$	Dirichlet : à quelles conditions la série converge

Le vrai butin

Quatre-vingt-deux ans séparent la première ligne de la dernière, et le résultat le plus important de cette histoire n’est aucun de ceux qu’elle a produits sur les cordes.

Pour trancher, il a fallu répondre à la question que la corde avait mise sous les yeux des mathématiciens : qu’est-ce qu’une fonction ? Tant qu’une fonction était une formule, la thèse de Bernoulli était absurde par construction. Tant qu’elle était une courbe, on ne pouvait rien démontrer. La sortie de crise a consisté à abandonner les deux et à adopter la définition que vous utilisez sans y penser depuis la classe de seconde : un procédé qui associe à chaque nombre d’un ensemble un nombre et un seul, que ce procédé s’écrive par une formule, par plusieurs, par un tableau ou par rien du tout. Dirichlet lui-même en donnera l’exemple limite avec une fonction qui vaut $1$ sur les rationnels et $0$ sur les irrationnels : aucune courbe, aucune formule ordinaire, et pourtant une fonction parfaitement définie.

La définition la plus banale de votre scolarité est le règlement de paix d’une guerre de quatre-vingts ans, et cette guerre portait sur une corde de guitare.

Sources

• Cours F4, paragraphe 5.4 (la note de marge sur la querelle) ; Coulisses n°7, pièce 56 La corde qui rompit la notion de fonction, qui traite la mathématique des modes et dont cette page est le versant historique.
• Sur la controverse de la corde vibrante (d’Alembert 1747, Euler 1748, Bernoulli 1753) : Resolution of the 300-Year-Old Vibrating String Controversy (arXiv) et « D’Alembert and the Wave Equation: Its Disputes and Controversies » (SCIRP).
• Sur le mémoire de 1807, l’accueil de Lagrange et Laplace, le prix de 1811 et la publication de 1822 : Britannica, notice « Fourier series » ; Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822.
• Sur le rôle de la querelle dans la formation de la notion moderne de fonction et sur l’arbitrage de Dirichlet en 1829 : MacTutor, « History of the function concept ».