La résonance des ponts

Le cours a tenu sa promesse en une page : une cadence extérieure accordée à la fréquence propre d’un pont fait enfler l’oscillation, et c’est pour cela que les armées rompent le pas. Reste tout ce qui n’entrait pas dans la page : les trois affaires en détail, la nuance que l’histoire d’Angers impose, et le cas de Londres, qui ne ressemble à aucun des deux autres.

Broughton, 12 avril 1831

Un détachement de soixante-quatorze soldats du 60e régiment de fusiliers rentre de l’exercice et s’engage sur le pont suspendu de Broughton, près de Manchester, qui franchit l’Irwell. La troupe marche au pas. Le tablier se met à rebondir en mesure, et le mouvement plaît : certains soldats, raconte-t-on, appuient volontairement le pas pour accompagner le rebond, d’autres se mettent à chanter en cadence. Le balancement enfle sur quelques dizaines de secondes, une chaîne cède près d’une des colonnes d’ancrage, et le coin du tablier bascule dans la rivière avec une quarantaine d’hommes.

L’eau était basse. Il y eut des blessés, aucun mort. C’est peut-être ce qui a fait de Broughton un cas d’école plutôt qu’un drame : l’accident est net, la cause est visible à l’œil nu, personne n’est mort pour brouiller le récit. L’armée britannique en tire une consigne permanente, toujours en vigueur dans la plupart des armées du monde : rompre le pas sur un pont.

Ce que « fréquence propre » veut dire

Le cours a établi que la fonction $x : t \mapsto A\cos(\omega_0 t + \varphi)$ vérifie $\forall t \in \mathbb{R},\ x''(t) = -\omega_0^2\,x(t)$. Lue à l’envers, cette équation décrit un système laissé à lui-même : écartez-le de l’équilibre, il oscille à la pulsation $\omega_0$, quelle que soit l’amplitude du départ. Cette pulsation ne dépend que du système, de sa raideur et de sa masse. Sa fréquence propre est $f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$ oscillations par seconde. Un pont suspendu, une corde, un verre de cristal, une aile d’avion en possèdent chacun plusieurs, une par mode de déformation.

Maintenant, poussons. Une sollicitation périodique d’amplitude $F$ et de pulsation $\omega$ ajoute un terme au second membre :

$$\forall t \in \mathbb{R}, \quad y''(t) + \omega_0^2\,y(t) = F\cos(\omega t).$$

Nous n’avons pas les outils pour résoudre cette équation, mais nous avons ceux pour vérifier des solutions, et cela suffit à voir le phénomène.

Le calcul qui explique tout

Hors résonance. Supposons $\omega \neq \omega_0$ et posons $y : t \mapsto \dfrac{F}{\omega_0^2 - \omega^2}\cos(\omega t)$. Cette fonction est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall t \in \mathbb{R},\ y''(t) = -\omega^2 y(t)$, d’où

$$y''(t) + \omega_0^2\,y(t) = (\omega_0^2 - \omega^2)\,y(t) = F\cos(\omega t).$$

C’est bien une solution, et elle est bornée : le système oscille à la cadence qu’on lui impose, avec une amplitude fixe. Mais regardez cette amplitude quand la cadence se rapproche de la fréquence propre (valeurs recalculées, pour $\omega_0 = 1$ et $F = 1$) :

$\omega$	$0{,}5$	$0{,}9$	$0{,}99$	$0{,}999$
amplitude	$1{,}33$	$5{,}26$	$50{,}3$	$500{,}3$

Le dénominateur $\omega_0^2 - \omega^2$ s’écrase, l’amplitude explose. Et à l’accord exact, la formule perd son sens : division par zéro.

À la résonance. Il faut alors une autre solution, et la voici. Posons $C = \dfrac{F}{2\omega_0}$ et $y : t \mapsto C\,t\sin(\omega_0 t)$, produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. Dérivons deux fois, avec la formule du produit et celle de la composée :

$$y'(t) = C\sin(\omega_0 t) + C\omega_0\,t\cos(\omega_0 t),$$ $$y''(t) = 2C\omega_0\cos(\omega_0 t) - C\omega_0^2\,t\sin(\omega_0 t) = 2C\omega_0\cos(\omega_0 t) - \omega_0^2\,y(t).$$

Donc $\forall t \in \mathbb{R},\ y''(t) + \omega_0^2 y(t) = 2C\omega_0\cos(\omega_0 t) = F\cos(\omega_0 t)$ : c’est une solution. Elle oscille toujours, mais son amplitude vaut $|C|\,t$ : elle croît sans limite, proportionnellement au temps. Voilà l’énoncé exact de la résonance, en trois lignes de dérivation de terminale. Chaque poussée arrive au moment où le mouvement va dans son sens, et son travail s’ajoute au précédent, comme une main qui pousse une balançoire à l’instant juste.

Dans le monde réel, l’amplitude ne croît pas indéfiniment : les frottements et l’amortissement de la structure, absents de notre équation, plafonnent la croissance. Toute la question, pour un pont, est de savoir si ce plafond est au-dessus ou au-dessous de ce que l’acier supporte.

Angers, 16 avril 1850 : la nuance qui compte

Dix-neuf ans après Broughton, l’affaire française est d’une tout autre gravité. Un bataillon d’infanterie traverse le pont suspendu de la Basse-Chaîne, à Angers, sous un violent orage. Le tablier oscille dans le vent. Les câbles rompent, le pont s’effondre dans la Maine, et l’on relève 226 morts.

Le récit populaire tient en une phrase : la troupe a marché au pas et le pont a cédé. La commission d’enquête a dit autre chose. La cause principale retenue est la corrosion des fils des câbles à l’endroit où ils pénètrent dans leurs massifs d’ancrage, les culasses : rouillés à l’abri des regards, ils avaient perdu une part décisive de leur résistance. La tempête et le mouvement du bataillon sur un tablier déjà en oscillation ont fait le reste. Les témoignages divergent d’ailleurs sur la discipline exacte de la troupe ce jour-là.

La différence entre les deux versions n’est pas un détail d’érudition. Dans la version populaire, une cause unique et spectaculaire suffit, et l’on en tire une consigne rassurante. Dans la version de la commission, un pont tombe parce que plusieurs faiblesses se rencontrent, dont une invisible depuis vingt ans. La seconde version est moins jolie et bien plus instructive : elle explique pourquoi l’on inspecte les ancrages, et pas seulement pourquoi l’on rompt le pas. Cette catastrophe a durablement pesé sur la réputation des ponts suspendus en France.

Londres, juin 2000 : quand la foule entre dans l’équation

Le Millennium Bridge, passerelle piétonne tendue entre la cathédrale Saint-Paul et la Tate Modern, ouvre le 10 juin 2000 devant une foule considérable. Il se met à osciller latéralement, de gauche à droite, avec une amplitude que les vidéos de l’époque rendent spectaculaire : les piétons s’agrippent aux rambardes. La passerelle est fermée deux jours après son inauguration, et ne rouvrira qu’en février 2002, équipée de plusieurs dizaines d’amortisseurs, visqueux et à masse accordée.

Le plus intéressant est que ce n’est pas l’histoire de Broughton. Personne ne marchait au pas. Le mécanisme, mal connu des ingénieurs avant cet épisode, porte aujourd’hui le nom d’excitation latérale synchrone : quand le tablier commence à bouger sous les pieds, un piéton écarte instinctivement les jambes et cale son pas sur le balancement pour garder l’équilibre. Ce faisant, il pousse dans le bon sens. Le mouvement augmente, ce qui convainc davantage de piétons de se synchroniser, ce qui augmente encore le mouvement.

Dans notre équation, cela change tout. Le second membre $F\cos(\omega t)$ décrivait une sollicitation extérieure, imposée quelle que soit la réponse du pont. Ici, la sollicitation dépend du mouvement du pont lui-même : la foule n’est plus une cause extérieure, elle est devenue une partie du système. Les études menées après coup ont montré un effet de seuil, au-delà d’un certain nombre de piétons présents en même temps sur une travée. En dessous, rien ; au-dessus, l’emballement.

La leçon des trois ponts

Trois ponts, trois mécanismes distincts qu’un slogan unique recouvre mal. À Broughton, une cadence extérieure accordée à une fréquence propre : la résonance du manuel, celle de notre calcul. À Angers, une structure affaiblie par la corrosion, achevée par la conjonction d’une tempête et d’une charge en mouvement. À Londres, une boucle de rétroaction entre une foule et une structure, que le vocabulaire de la résonance classique ne suffit pas à décrire.

La consigne de rompre le pas reste excellente, pour une raison qui n’a rien de mystérieux : elle coûte zéro. Désynchroniser des impulsions est le moyen le plus économique de garantir qu’aucune fréquence propre ne sera servie deux fois de suite.

Sources

• Cours F4, ouverture (Broughton) et paragraphe 5.3 (la résonance), dont cette page développe les trois exemples.
• Sur l’accident de Broughton (date, effectif du détachement, absence de victimes, ordre de rompre le pas) : notice « Broughton Suspension Bridge ».
• Sur la catastrophe de la Basse-Chaîne (16 avril 1850, 226 morts, corrosion des fils à l’entrée des culasses) : dossiers historiques sur l’effondrement du pont d’Angers ; la nuance sur la pluralité des causes est celle retenue par la commission d’enquête.
• Sur le Millennium Bridge (ouverture du 10 juin 2000, fermeture deux jours plus tard, excitation latérale synchrone, réouverture en février 2002 après pose d’amortisseurs) : notice « Millennium Bridge, London ».
• Les deux solutions vérifiées de $y'' + \omega_0^2 y = F\cos(\omega t)$ et le tableau des amplitudes ont été recalculés par dérivation numérique à trente chiffres significatifs.