Le verdict de Foucault

Le devoir La lumière qui calcule se referme sur des portes entrouvertes : un verdict expérimental à chercher, une courbe de goutte d’eau promise, un défi lancé à l’Europe en 1696. Les voici, dans l’ordre.

Une mise au point avant de commencer. Le devoir est noté et n’a pas de corrigé. Vous ne trouverez ici aucune réponse aux questions notées, de la première à l’avant-dernière, ni aucune valeur que le devoir n’imprime pas déjà. Les questions ouvertes de la fin, elles, trouvent sur cette page le prolongement que le devoir leur promet en se refermant. Cette page raconte l’aval du voyage : ce qui arrive après la dernière ligne, et ce que trois siècles ont fait de l’idée du moindre temps.

I. Le duel Descartes—Fermat, et la mesure qui a tranché

Ce sur quoi les deux camps étaient d’accord

Voici le point que l’on rate presque toujours en racontant cette histoire, et qui en fait tout le sel : Descartes et Fermat prédisent exactement la même chose sur la table d’optique. L’un et l’autre annoncent que le rapport $\dfrac{\sin i}{\sin r}$ est une constante du couple de milieux, la même constante, et pour l’air et l’eau ils annoncent tous deux la valeur $\dfrac{4}{3}$. Tous les angles mesurables sont identiques dans les deux théories. Aucune expérience de réfraction, aucun goniomètre, aucune table de dioptre, du XVII^e siècle au milieu du XIX^e, ne peut les séparer.

Le désaccord ne porte pas sur la valeur de la constante. Il porte sur ce qu’elle est.

• Chez Descartes, la lumière est une sorte de balle qui, dans le milieu le plus dense, « passe plus aisément » : sa composante perpendiculaire à la surface s’accroît. Le calcul cartésien identifie la constante au rapport $\dfrac{v_{\text{eau}}}{v_{\text{air}}}$, donc $\dfrac{v_{\text{eau}}}{v_{\text{air}}} = \dfrac{4}{3}$ : la lumière va plus vite dans l’eau.
• Chez Fermat, la lumière prend le chemin de moindre durée, et le calcul de la lettre du 1^er janvier 1662 identifie la constante au rapport $\dfrac{v_{\text{air}}}{v_{\text{eau}}}$, donc $\dfrac{v_{\text{air}}}{v_{\text{eau}}} = \dfrac{4}{3}$ : la lumière va plus lentement dans l’eau.

Les deux lectures donnent des rapports de vitesses inverses l’un de l’autre, $\frac43$ contre $\frac34$. Voilà pourquoi le débat a duré deux siècles : il ne pouvait pas se trancher en mesurant des angles, il fallait mesurer une vitesse, et pas n’importe laquelle. La vitesse de la lumière dans l’eau, comparée à celle dans l’air, dans le même dispositif.

C’est une leçon d’épistémologie qui vaut bien un chapitre : deux mécanismes physiques incompatibles peuvent produire la même formule. Une formule n’est pas une théorie.

1850 : le miroir tournant

L’idée de l’expérience décisive est d’Arago, qui la propose en 1838 sans pouvoir la mener à bien. Le principe est d’une élégance brutale. Un faisceau frappe un miroir qui tourne à très grande vitesse, part vers un miroir fixe éloigné, revient : pendant l’aller-retour, le miroir tournant a pivoté d’un petit angle, et le faisceau de retour est dévié d’un angle proportionnel à la durée du trajet. Il ne reste plus qu’à placer un tube d’eau sur l’un des deux chemins, de l’air sur l’autre, et à comparer les deux déviations dans le même appareil, au même instant.

Au printemps 1850, Léon Foucault présente le résultat à l’Académie des sciences. La déviation est plus grande pour le faisceau qui a traversé l’eau : le trajet y a duré plus longtemps. La lumière est plus lente dans l’eau. Fizeau, qui travaillait sur la même question, parvient au même verdict quelques semaines plus tard.

Fermat gagne, cent quatre-vingt-huit ans après sa lettre, deux cent treize ans après La Dioptrique. Il faut ajouter, pour être honnête, que les contemporains de Foucault ne lisaient pas ce résultat comme l’arbitrage d’une querelle du Grand Siècle : ils y voyaient l’expérience cruciale entre théorie corpusculaire et théorie ondulatoire de la lumière. Mais l’alternative était bien la même, formulée dans une autre langue : plus vite ou moins vite dans le milieu dense.

Ce que Clerselier avait raison de dire

Le cartésien Clerselier, dans sa lettre de mai 1662 citée par le devoir, objectait que le moindre temps n’est « qu’un principe moral et non point physique ». L’objection était sérieuse, et elle a reçu deux réponses.

La première est mécanique : Huygens (1690) puis Fresnel expliquent pourquoi la lumière semble choisir le chemin le plus rapide, sans qu’elle choisisse rien. Les chemins voisins du chemin extrémal arrivent en phase et s’additionnent ; tous les autres s’annulent deux à deux. Ce n’est pas une préférence, c’est une interférence.

La seconde est mathématique, et elle est le contraire d’une rétractation : le « principe moral » a colonisé la physique entière. Maupertuis (1744), Euler, Lagrange, puis Hamilton (1834) reconstruisent la mécanique sur des principes dits variationnels, où la trajectoire réelle est celle qui rend stationnaire une certaine quantité ; la relativité générale et la théorie quantique des champs s’écrivent encore ainsi. Clerselier trouvait le principe indigne de la physique, il en est devenu la charpente.

Notez au passage le mot exact : stationnaire, et non minimal. La dérivée s’annule, sans qu’il s’agisse toujours d’un minimum, et sur un miroir concave certains trajets réels réalisent un maximum. Le devoir démontre un vrai minimum parce que la situation s’y prête et qu’il le prouve ; le principe général, lui, parle d’extremum.

II. L’arc-en-ciel : la courbe promise

En 1637, dans Les Météores, Descartes suit à la plume un rayon de soleil dans une goutte d’eau sphérique. Le rayon entre (il se réfracte), rebondit sur la paroi du fond (il se réfléchit), ressort (il se réfracte encore). Chaque étape le fait tourner :

• à l’entrée, la déviation vaut $i - r$ ;
• à la réflexion interne, elle vaut $180^\circ - 2r$ ;
• à la sortie, encore $i - r$.

En additionnant, avec $\sin i = n \sin r$ :

$$\boxed{\ \forall i \in \left[0^\circ\,;90^\circ\right],\quad D(i) = 180^\circ + 2i - 4r(i)\ }$$

Voici cette fonction, calculée point par point pour l’eau ($n = \frac43$).

La déviation totale d’un rayon dans une goutte d’eau, en fonction de son angle d’entrée. La bande claire est la plage d’incidences dont la déviation reste à moins d’un degré du minimum : treize degrés d’entrée pour un degré de sortie.

Pourquoi il y a un minimum, et pourquoi il fait la lumière

Toutes les dérivations qui suivent se font en radians ; les degrés ne servent qu’à lire le résultat, exactement comme le devoir en pose la règle.

La relation $\sin i = n \sin r$ donne, en dérivant les deux membres par rapport à $i$ : $\cos i = n \cos r \cdot r'(i)$, d’où $r'(i) = \dfrac{\cos i}{n \cos r}$. Alors

$$D'(i) = 2 - 4\,r'(i) = 2 - \frac{4\cos i}{n\cos r},$$

et $D'(i) = 0$ équivaut à $n \cos r = 2 \cos i$. En élevant au carré et en réinjectant $n^2\sin^2 r = \sin^2 i$, il vient $n^2 - \sin^2 i = 4 - 4\sin^2 i$, c’est-à-dire

$$\cos i^{*} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{3}}.$$

Pour $n = \frac43$, la calculatrice donne $\cos i^{*} = 0{,}509\,175$, soit

$$i^{*} = 59{,}39^\circ, \qquad r^{*} = 40{,}20^\circ, \qquad D(i^{*}) = 137{,}97^\circ,$$

et le rayon revient donc vers l’observateur à $180^\circ - 137{,}97^\circ = \boxed{42{,}03^\circ}$ du point du ciel opposé au Soleil. C’est le rayon apparent de tous les arcs-en-ciel du monde, et il ne dépend d’aucune propriété de la goutte sauf de son indice : ni de sa taille, ni de la hauteur du nuage, ni du pays.

Reste le plus beau, et c’est du calcul de terminale pur. Pourquoi l’arc est-il lumineux, alors que la goutte renvoie de la lumière dans toutes les directions entre $137{,}97^\circ$ et $180^\circ$ ? Parce qu’au voisinage d’un extremum, la dérivée s’annule : la fonction y est plate, et une large plage d’angles d’entrée y produit presque la même direction de sortie. Les chiffres sont éloquents : pour $i$ compris entre $52{,}5^\circ$ et $65{,}8^\circ$, treize degrés d’incidence, la déviation reste à moins d’un degré du minimum. Ces rayons-là ressortent tous ensemble ; ailleurs ils s’éparpillent. Le minimum n’est donc pas une curiosité de la courbe, c’est l’endroit où les rayons s’entassent, et donc la seule direction du ciel où il y ait quelque chose à voir.

Les couleurs, la largeur, et le second arc

L’indice de l’eau dépend de la couleur : $n \approx 1{,}331$ pour le rouge, $n \approx 1{,}344$ pour le violet. Le même calcul donne alors un arc à $42{,}37^\circ$ pour le rouge et à $40{,}51^\circ$ pour le violet : le rouge à l’extérieur, le violet à l’intérieur, et un peu moins de deux degrés de largeur totale. L’arc-en-ciel est mince parce que la dispersion de l’eau est faible.

Si l’on suit maintenant les rayons qui rebondissent deux fois dans la goutte, la déviation devient $D_2(i) = 360^\circ + 2i - 6r$, stationnaire pour $\cos i^{*} = \sqrt{\frac{n^2-1}{8}}$, soit $i^{*} \approx 71{,}8^\circ$. L’arc secondaire tombe à $50{,}4^\circ$ pour le rouge et $53{,}7^\circ$ pour le violet : plus large, plus pâle, et aux couleurs inversées. Entre les deux arcs, de $42^\circ$ à $50^\circ$, presque aucun rayon n’est renvoyé : c’est la bande sombre d’Alexandre, décrite vers l’an 200 et expliquée seulement quatorze siècles plus tard par cette courbe.

Un dernier mot sur Descartes. Il n’avait pas la dérivée : il a tabulé, suivant à la main un éventail de rayons et comptant combien ressortaient dans chaque direction. Ce qu’il n’a pas pu faire, en revanche, c’est expliquer les couleurs : il faudra le prisme de Newton, en 1672.

III. La brachistochrone : la lumière résout un problème de chute

Juin 1696, Acta Eruditorum. Jean Bernoulli lance un problème « aux mathématiciens les plus perspicaces du monde entier » : deux points $A$ et $B$ sont donnés dans un plan vertical, non sur une même verticale ; parmi toutes les glissières joignant $A$ à $B$, quelle est celle sur laquelle une bille lâchée sans vitesse et glissant sans frottement arrive le plus vite ? Cinq solutions arrivent avant Pâques 1697 : celles de Leibniz, de Jacques Bernoulli (le frère aîné, et rival), du marquis de l’Hôpital, de Jean Bernoulli lui-même, et une cinquième envoyée de Londres sans signature, dont l’auteur était Newton.

La solution de Bernoulli : faire comme si la bille était un rayon

Voici le tour de force. La conservation de l’énergie donne la vitesse de la bille après une chute de hauteur $y$ : $v = \sqrt{2gy}$. Autrement dit, plus la bille est basse, plus elle est rapide : le plan vertical se comporte comme un milieu dont la vitesse dépend de la profondeur.

Découpons alors ce plan en fines couches horizontales, dans chacune desquelles la vitesse est presque constante. Nous voici exactement dans la situation de la partie IV du devoir : un empilement de couches, un trajet le plus rapide, et l’invariant que le devoir vous fait établir par récurrence. En notant $\theta$ l’angle du trajet avec la verticale, le meilleur chemin vérifie donc, de couche en couche,

$$\frac{\sin\theta}{v} = \text{constante}, \qquad \text{soit} \qquad \frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = \text{constante}.$$

Il ne reste qu’à faire tendre le nombre de couches vers l’infini, et à chercher la courbe qui vérifie cette condition en chacun de ses points. C’est la cycloïde : la courbe que décrit un point marqué sur une roue qui roule sans glisser.

Le contrôle est immédiat et se fait à la main. Paramétrons la cycloïde par $x = R(u - \sin u)$ et $y = R(1 - \cos u)$, l’axe des $y$ étant dirigé vers le bas. Le vecteur tangent est $(1 - \cos u\,;\sin u)$, sa norme vaut $\sqrt{2(1-\cos u)}$, donc

$$\sin\theta = \frac{1 - \cos u}{\sqrt{2(1 - \cos u)}} = \sqrt{\frac{1 - \cos u}{2}}, \qquad \text{et} \qquad \frac{\sin\theta}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2R}}.$$

Une constante, en effet, et la vérification numérique le confirme : pour $R = 1$, le quotient vaut $0{,}707\,106\,781\,186\,5$ en tous les points testés de la courbe, soit $\frac{1}{\sqrt 2}$ à la treizième décimale.

Ce que ce passage à la limite a inauguré

Le devoir démontre l’invariant sur $N$ couches, par récurrence. Bernoulli fait tendre $N$ vers l’infini, et ce geste est un acte de naissance : celui du calcul des variations, la branche qui cherche non plus le nombre qui minimise une fonction, mais la courbe qui minimise une quantité. Euler puis Lagrange en font une méthode générale entre 1744 et 1755, et c’est elle qui porte les principes variationnels dont il était question plus haut.

Reste une coïncidence que Bernoulli lui-même a savourée. En 1659, pour ses horloges, Huygens avait démontré que la cycloïde est aussi la tautochrone : sur cette courbe, la durée de descente jusqu’au point bas ne dépend pas de l’endroit d’où l’on part. Deux problèmes sans rapport apparent, une seule et même courbe.

Sources

• P. de Fermat, Analyse des réfractions, lettre du 1^er janvier 1662 ; réponse de Clerselier, mai 1662. R. Descartes, La Dioptrique et Les Météores, essais du Discours de la méthode, 1637.
• Sur l’expérience de 1850 : L. Foucault, communication à l’Académie des sciences, printemps 1850 (méthode du miroir tournant proposée par Arago en 1838) ; travaux parallèles de Fizeau la même année.
• J. Bernoulli, problème de la brachistochrone, Acta Eruditorum, juin 1696 ; solutions publiées en mai 1697. C. Huygens, Horologium oscillatorium, 1673, pour la tautochrone (résultat obtenu en 1659).
• Devoir F4 n°1, La lumière qui calcule : prologue, parties III et IV, encadré « le récit de la goutte d’eau », questions ouvertes Q15.
• Toutes les valeurs de cette page ont été recalculées en Python : $\cos i^{*} = \sqrt{(n^2-1)/3}$ et la courbe $D(i)$ échantillonnée au demi-degré, les arcs primaire et secondaire pour $n = 1{,}331$ et $n = 1{,}344$, et le quotient $\sin\theta/\sqrt{y}$ en six points d’une cycloïde.