Les tiroirs du numéro 7

Les Coulisses n°7, L’envers de l’onde, ont fermé cinq tiroirs et l’activité La pente de l’onde en a laissé un sixième. Les voici tous ouverts. Chaque valeur numérique a été recalculée.

1. Vrai ou légende : le mot sinus est-il né d’une erreur de lecture ?

L’affirmation à trancher, au bas de la pièce 54 :

Le mot sinus serait né d’une erreur de traduction : un traducteur médiéval aurait lu le squelette consonantique arabe j-y-b comme « repli de vêtement » au lieu d’y reconnaître la corde d’arc indienne.

Le verdict : vrai

C’est la surprise de cette rubrique, qui conclut d’habitude à la légende embellie. Ici, la chaîne tient debout, maillon par maillon, et chaque maillon est documenté.

Ce qui est établi. Les astronomes indiens tabulent non pas la corde d’un arc, mais sa demi-corde, parce qu’elle simplifie tous les calculs de triangles. Aryabhata, vers 499, la nomme ardha-jyā, littéralement « demi-corde d’arc », vite abrégé en jyā. Traduit en arabe à Bagdad, ce mot technique est translittéré en جيب, dont les consonnes se lisent jība : un simple report de sons, sans aucun sens propre en arabe. Or l’arabe s’écrit sans noter les voyelles brèves, et ce même squelette j-y-b est aussi celui d’un mot arabe courant, jayb, qui désigne le repli d’un vêtement, l’échancrure d’une tunique sur la poitrine, et par extension un golfe. Les traducteurs latins de Tolède, au XII^e siècle, rendent ce mot par sinus, qui en latin désigne exactement les mêmes choses : le pli de la toge, le creux, le golfe. Le mot sinus est ensuite entré dans toutes les langues européennes, et il est encore le nôtre.

Ce qui reste discuté. Deux points, et ils méritent d’être dits.

Le premier est l’attribution. On lit selon les auteurs que le premier sinus latin est de Robert de Chester (1145) ou de Gérard de Crémone (vers 1150), tous deux à Tolède. Il n’y a pas de consensus ferme, et l’image du traducteur unique buttant un après-midi sur un mot est une commodité de récit, pas un fait d’archive.

Le second est plus intéressant : peut-on vraiment parler d’erreur ? Les traducteurs de Tolède travaillaient sur des textes arabes, avec des interlocuteurs arabophones, et jayb semble avoir été employé comme lecture courante du terme bien avant eux. Ce que le latin traduit, ce n’est peut-être pas une méprise isolée, mais une lecture déjà installée dans l’usage arabe. Le glissement de sens est certain ; savoir s’il faut le mettre au compte d’un lapsus ou d’une dérive lente est une autre affaire.

Le verdict raisonnable tient donc en une phrase : la chaîne est vraie, du sanskrit au latin, et le mot sinus désigne bien tout autre chose que ce qu’il traduisait ; l’anecdote du copiste, elle, met un visage sur un processus qui n’en avait probablement pas. Le plus beau reste ce que la pièce 54 disait déjà : la géométrie, elle, n’a rien perdu au voyage. Seule l’étiquette a changé de sens.

2. Le bonus de la pièce 54 : les cordes de 60 et 90 degrés

La formule de conversion de la pièce : sur un cercle de rayon $R$, pour tout $\theta \in \left[0\,;\pi\right]$,

$$\mathrm{corde}(2\theta) = 2R\sin\theta.$$

La corde de $60^\circ$. Il faut $2\theta = 60^\circ$, donc $\theta = 30^\circ$, c’est-à-dire $\theta = \frac{\pi}{6}$ rad. Alors

$$\mathrm{corde}(60^\circ) = 2R\sin\frac{\pi}{6} = 2R \times \frac12 = \boxed{R}.$$

La corde de $90^\circ$. Il faut $2\theta = 90^\circ$, donc $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ rad, et

$$\mathrm{corde}(90^\circ) = 2R\sin\frac{\pi}{4} = 2R \times \frac{\sqrt2}{2} = \boxed{R\sqrt2}.$$

Les deux résultats se contrôlent sans aucune trigonométrie, et c’est ce contrôle qui rend l’exercice savoureux. Une corde qui sous-tend un angle au centre de $60^\circ$ forme, avec les deux rayons, un triangle isocèle dont l’angle au sommet vaut $60^\circ$ : il est donc équilatéral, et la corde vaut $R$. Une corde qui sous-tend $90^\circ$ forme un triangle rectangle isocèle de côtés $R$ et $R$ : son hypoténuse vaut $R\sqrt2$ par Pythagore. Les tables d’Hipparque et de Ptolémée ne commençaient pas autrement : par les cordes que la géométrie donne gratuitement, avant de remplir les intervalles.

3. Le bonus de la pièce 55 : $\sin(0{,}5)$ à la main

La pièce indique le chemin : appliquer la première pièce détachée de Madhava, $x - \frac{x^3}{6}$, en $x = 0{,}5$, en écrivant $0{,}5^3 = 0{,}125$.

$$0{,}5 - \frac{0{,}125}{6} = 0{,}5 - 0{,}020\,833\,3\ldots = 0{,}479\,166\,7\ldots$$

La vraie valeur est $\sin(0{,}5) = 0{,}479\,425\,5\ldots$, l’erreur vaut donc $2{,}59 \cdot 10^{-4}$, et le compte des décimales exactes est le suivant :

Le compte : $0{,}479\,167$ contre $0{,}479\,426$, soit trois décimales exactes.

Le point de rigueur mérite d’être souligné, parce qu’il change la nature de la réponse. Constater trois décimales exactes en regardant la calculatrice, ce n’est pas les garantir. L’encadrement du cours seul, $x - \frac{x^3}{6} \leqslant \sin x \leqslant x$, ne donne ici que $0{,}479\,167 \leqslant \sin(0{,}5) \leqslant 0{,}5$ : une seule décimale certaine. C’est l’étage suivant, celui que l’exercice 16 de l’Atelier fait fabriquer, qui referme la tenaille :

$$0{,}479\,166\,7 \leqslant \sin(0{,}5) \leqslant 0{,}479\,166\,7 + \frac{0{,}5^5}{120} = 0{,}479\,427\,1,$$

soit une amplitude de $2{,}6 \cdot 10^{-4}$. Les deux bornes commencent par $0{,}479$ : les trois décimales sont maintenant démontrées, et non plus observées. C’est toute la différence entre une estimation et un encadrement.

4. Le bonus de la pièce 56 : l’amplitude d’un mode est un oscillateur

L’encadré affirme que l’amplitude du mode $n$ d’une corde, $y : t \mapsto \cos(n\omega t)$, vérifie $y''(t) = -(n\omega)^2 y(t)$. Vérification en deux dérivations, avec les justifications d’usage.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\omega > 0$. La fonction $t \mapsto n\omega t$ est affine, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et la fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ : par composition, $y$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$$\forall t \in \mathbb{R}, \quad y'(t) = -n\omega\,\sin(n\omega t).$$

Le même argument s’applique à $y'$, qui est donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et

$$\forall t \in \mathbb{R}, \quad y''(t) = -(n\omega)^2\cos(n\omega t),$$

c’est-à-dire, en reconnaissant $y(t)$ dans le cosinus :

$$\boxed{\ \forall t \in \mathbb{R}, \quad y''(t) = -(n\omega)^2\,y(t)\ }$$

Trente secondes de calcul, et une conclusion qui porte loin : chaque mode d’une corde vibrante est un oscillateur harmonique de pulsation $n\omega$, c’est-à-dire de fréquence $n$ fois celle du fondamental. C’est la petite musique $y'' = -\omega^2 y$ de la section 5 du cours, appliquée à chaque harmonique séparément. Le dosage de ces oscillateurs fait le timbre, et la page consacrée à la querelle des cordes vibrantes raconte les quatre-vingts ans qu’il a fallu pour l’admettre.

5. Le bonus de la pièce 57 : retrouver les quinze jours

La question : combien de temps faut-il pour que la composante solaire, de période $12$ heures, prenne exactement un tour complet d’avance sur la composante lunaire, de période $12{,}42$ heures ?

En $T$ heures, la composante solaire accomplit $\frac{T}{12}$ cycles et la lunaire $\frac{T}{12{,}42}$ cycles. Un tour complet d’avance s’écrit donc

$$\frac{T}{12} - \frac{T}{12{,}42} = 1, \qquad \text{soit} \qquad T = \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{12{,}42}\right)^{-1}.$$

Le calcul, en réduisant au même dénominateur :

$$\frac{1}{12} - \frac{1}{12{,}42} = \frac{12{,}42 - 12}{12 \times 12{,}42} = \frac{0{,}42}{149{,}04} = 2{,}818\,0 \cdot 10^{-3}\ \text{h}^{-1},$$

d’où

$$T = 354{,}86\ \text{h} = \boxed{14{,}79 \text{ jours}}$$

Avec la valeur astronomique fine de la composante lunaire principale, $12{,}420\,6$ h, on obtient $354{,}37$ h, soit $14{,}77$ jours : la troisième décimale de la période ne change rien à l’affaire.

Deux remarques pour finir. D’abord, ce $T$ est la période de l’enveloppe au sens des battements : entre deux moments où les deux composantes s’additionnent en phase, il s’écoule un tour complet d’avance, et c’est cet écart-là que l’on mesure entre deux vives-eaux consécutives. Ensuite, ce nombre en cache un autre que vous connaissez : $14{,}77$ jours, c’est très exactement la moitié du mois synodique, les $29{,}53$ jours qui séparent deux pleines lunes. Ce n’est pas une coïncidence : les vives-eaux tombent quand la Lune, le Soleil et la Terre s’alignent, ce qui arrive deux fois par lunaison, à la nouvelle lune et à la pleine lune.

6. Le défi de l’activité : la dérivée du cosinus, sans rien mesurer

Le défi de La pente de l’onde demandait de prédire la courbe des pentes du cosinus sans tracer ni mesurer, avec un seul argument, tenant en un mot de première sur les transformations de courbes. Le mot est translation.

L’angle associé du cours donne, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ : la courbe du cosinus est celle du sinus translatée horizontalement. Or une translation horizontale ne modifie aucune pente, elle se contente de les déplacer : la courbe des pentes du cosinus est donc la courbe des pentes du sinus, translatée de la même façon.

Le calcul confirme en deux lignes. La fonction $x \mapsto x + \frac{\pi}{2}$ est affine donc dérivable sur $\mathbb{R}$, la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc par composition le cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$\cos'(x) = 1 \times \sin'\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x,$$

la dernière égalité étant, elle aussi, un angle associé. D’où :

$$\boxed{\ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \cos'(x) = -\sin x\ }$$

Huit mesures à la règle avaient été nécessaires pour conjecturer la dérivée du sinus. Pour le cosinus, il n’en faut aucune : une identité du cercle suffit, et c’est le genre d’économie qui vaut la peine d’être remarqué. Un bon résultat ne se démontre qu’une fois ; ensuite, il se transporte.

Sources

• Coulisses n°7, pièces 54, 55, 56 et 57, et leurs encadrés Bonus ; activité F4 La pente de l’onde, défi final ; Atelier F4, exercice 16 ; cours F4, sections 1, 3 et 5.
• Sur l’étymologie : Aryabhata, Āryabhaṭīya, vers 499, pour ardha-jyā ; les traductions latines de Tolède du XII^e siècle (Robert de Chester, 1145 ; Gérard de Crémone, vers 1150) pour le passage de jayb à sinus. Le mot trigonométrie lui-même n’apparaît qu’en 1595.
• Composantes de marée : lunaire principale $12{,}420\,6$ h, solaire $12$ h.
• Valeurs recalculées en Python : $\sin(0{,}5)$ et les deux bornes de l’encadrement d’ordre $5$, la période de battement pour les deux valeurs de la période lunaire, et les cordes de $60^\circ$ et $90^\circ$ contrôlées géométriquement.