Chapitre F6 · analyse
F6. Primitives et equations differentielles
De la derivation inverse aux modeles d'evolution
« L'etude approfondie de la nature est la source la plus feconde des decouvertes mathematiques. »
— Joseph Fourier, Theorie analytique de la chaleur, 1822
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Explore les concepts cles du chapitre pour la premiere fois
Definitions cles
- • Une primitive $F$ de $f$ sur $I$ verifie : $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$
- • Une equation differentielle est une equation dont l'inconnue est une fonction $y$ et qui fait intervenir $y$ et ses derivees
- • Le probleme de Cauchy : trouver l'unique solution verifiant $y(x_0) = y_0$
ACT-F6 Voir aussi l'activite de decouverte distribuee en classe
COURS-F6 Section 1 : Primitives d'une fonction
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Teste tes connaissances et pratique les methodes
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Quiz diagnostique
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Quiz complet
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EXO-F6 Complete avec le recueil d'exercices distribue en classe
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Prepare l'evaluation avec les formules essentielles
Formules essentielles
Memento
Primitive de $x^n$
$\int x^n\,\text{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Primitive de $e^{ax+b}$
$\int e^{ax+b}\,\text{d}x = \dfrac{1}{a}\,e^{ax+b} + C$
Primitive de $\dfrac{1}{x}$
$\int \dfrac{1}{x}\,\text{d}x = \ln|x| + C$
Solution de $y' + ay = 0$
$y(x) = C\,e^{-ax}$
Solution de $y' + ay = b$
$y(x) = C\,e^{-ax} + \dfrac{b}{a}$
Condition initiale
$y(x) = \left(y_0 - \dfrac{b}{a}\right)e^{-a(x-x_0)} + \dfrac{b}{a}$
Tableau des primitives usuelles
$x^n$ $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$ $\ln|x|$
$e^x$ $e^x$
$\cos(x)$ $\sin(x)$
$\sin(x)$ $-\cos(x)$
EVAL-F6 Prepare l'evaluation de synthese sur ce chapitre
COURS-F6 Relis les proprietes et definitions du cours
Phase 4
Aller plus loin
Ressources complementaires et approfondissement
Newton (1687) formule les lois du mouvement comme des relations entre grandeurs et taux de variation : les premieres equations differentielles. Leibniz introduit en 1684 le symbole $\int$ et la notation $\text{d}y/\text{d}x$.
— Note historique
Applications en physique
- • Circuit RC : $u' + \dfrac{1}{RC}\,u = \dfrac{E}{RC}$
- • Radioactivite : $N'(t) = -\lambda\,N(t)$
- • Refroidissement de Newton : $T' = -k(T - T_0)$
EXO-F6 Exercices d'approfondissement sur les primitives et eq. diff.