F6 · analyse
F6 · Primitives et equations differentielles
De la derivation inverse aux modeles d'evolution
« L'etude approfondie de la nature est la source la plus feconde des decouvertes mathematiques. »
— Joseph Fourier, Theorie analytique de la chaleur, 1822
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Ou j'en suis ?
Phase 1 · ~5-10 min
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Explore les concepts cles du chapitre pour la premiere fois
Definitions cles
- •Une primitive $F$ de $f$ sur $I$ verifie : $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$
- •Une equation differentielle est une equation dont l'inconnue est une fonction $y$ et qui fait intervenir $y$ et ses derivees
- •Le probleme de Cauchy : trouver l'unique solution verifiant $y(x_0) = y_0$
ACT-F6 Voir aussi l'activite de decouverte distribuee en classe
COURS-F6 Section 1 : Primitives d'une fonction
Phase 2 · ~10-15 min
S'entrainer
Teste tes connaissances et pratique les methodes
EXO-F6 Complete avec le recueil d'exercices distribue en classe
Phase 3 · ~5-10 min
Reviser
Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards
Formules essentielles
Memento
Primitive de $x^n$
$\int x^n\,\text{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
Primitive de $e^{ax+b}$
$\int e^{ax+b}\,\text{d}x = \dfrac{1}{a}\,e^{ax+b} + C$
Primitive de $\dfrac{1}{x}$
$\int \dfrac{1}{x}\,\text{d}x = \ln|x| + C$
Solution de $y' + ay = 0$
$y(x) = C\,e^{-ax}$
Solution de $y' + ay = b$
$y(x) = C\,e^{-ax} + \dfrac{b}{a}$
Condition initiale
$y(x) = \left(y_0 - \dfrac{b}{a}\right)e^{-a(x-x_0)} + \dfrac{b}{a}$
Flashcards · 20 cartes · Definitions, formules et methodes a maitriser
Reviser
Tableau des primitives usuelles
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ |
COURS-F6 Relis les proprietes et definitions du cours
Phase 4
Aller plus loin
Ressources complementaires et approfondissement
Newton (1687) formule les lois du mouvement comme des relations entre grandeurs et taux de variation : les premieres equations differentielles. Leibniz introduit en 1684 le symbole $\int$ et la notation $\text{d}y/\text{d}x$.
Note historique
Applications en physique
| Circuit RC | $u' + \dfrac{1}{RC}\,u = \dfrac{E}{RC}$ |
| Radioactivite | $N'(t) = -\lambda\,N(t)$ |
| Refroidissement de Newton | $T' = -k(T - T_0)$ |
EXO-F6 Exercices d'approfondissement sur les primitives et eq. diff.