Les courbes qui refusent d'être des graphes

Le cours pose une question au parcours Excellence et s’arrête là, faute de place : un cercle n’est pas la courbe d’une fonction, mais que se passe-t-il si l’on n’en garde que la moitié supérieure ? Et que devient la réponse aux deux extrémités, là où la verticale devient tangente ? Voici la réponse, et ce qu’elle ouvre.

Le verdict, et pourquoi il tombe

Prenons le cercle de centre l’origine et de rayon $3$. La verticale d’abscisse $0$ le rencontre en deux points, $(0\,;3)$ et $(0\,;-3)$. Si ce cercle était la courbe d’une fonction $f$, le nombre $0$ aurait donc deux images, $3$ et $-3$. La définition l’interdit.

Ce n’est pas un défaut du cercle. C’est que le cercle n’est pas fait pour cela : c’est un ensemble de points du plan qui vérifient une condition, ici $x^{2} + y^{2} = 9$, et rien n’oblige un tel ensemble à être le graphe de quoi que ce soit.

Coupons-le en deux, maintenant, et ne gardons que la moitié supérieure. Chaque verticale d’abscisse comprise entre $-3$ et $3$ la rencontre exactement une fois. Le test passe.

$h : x \longmapsto \sqrt{9 - x^{2}} \quad \text{sur } [-3\,;3]$

C’est bien une fonction, et le rituel du chapitre pose sa condition d’existence tout seul : il faut $9 - x^{2} \geqslant 0$. La résoudre est une autre affaire, et elle vous attend au chapitre A4 : une condition portant sur un carré n’est pas traitable avec les outils dont vous disposez ici. La moitié inférieure donne une seconde fonction, avec un signe moins. Le cercle entier n’est donc pas une courbe de fonction, mais il est la réunion de deux courbes de fonctions.

Le point qui pose problème

Reste la question fine du cours, celle des extrémités. En $x = 3$, la verticale ne coupe plus la moitié supérieure en deux points ni en aucun : elle la touche en un seul, $(3\,;0)$, et elle est tangente.

Le test de la verticale dit « au plus une fois ». Une fois, c’est au plus une fois : le point $(3\,;0)$ ne pose donc aucun problème, et $h(3) = 0$ existe parfaitement. La tangence est une affaire de géométrie, pas de définition de fonction. Ce qui compte n’est pas la manière dont la droite rencontre la courbe, mais combien de fois elle la rencontre.

C’est une distinction qui vaut la peine d’être notée, parce qu’elle reviendra : beaucoup de questions de mathématiques ont l’air d’être des questions de forme et sont en réalité des questions de comptage.

La lemniscate, ou le huit couché

Montons d’un cran. La lemniscate est une courbe en forme de huit couché, connue depuis Jacques Bernoulli à la fin du XVII^e siècle, et définie par une condition élégante : c’est l’ensemble des points dont le produit des distances à deux points fixes est constant, la constante valant le carré de la demi-distance entre ces deux points. Sans cette dernière précision, on obtient une famille plus large de courbes, les ovales de Cassini, dont la lemniscate n’est qu’un cas particulier.

Elle échoue au test de la verticale, comme le cercle, et pour la même raison : une verticale bien choisie la rencontre deux fois. Le découpage haut-bas la répare d’ailleurs de la même manière, et sa moitié supérieure est bien la courbe d’une fonction.

Ce qui la distingue vraiment du cercle est ailleurs, et c’est plus intéressant. Au point de croisement, les deux lobes se rejoignent en formant un angle. La moitié supérieure est donc le graphe d’une fonction parfaitement définie, mais qui présente un point anguleux, et c’est cette différence-là, invisible au test de la verticale, qui occupera vos prochaines années.

Enfin, si l’on cherche vraiment les quatre rencontres, c’est une horizontale voisine du centre qu’il faut tracer : elle traverse chacun des deux lobes deux fois. Vous croiserez d’ailleurs la lemniscate ailleurs, et sans la reconnaître : le symbole de l’infini, $\infty$, en a exactement la forme.

Lissajous, 1857 : deux diapasons et un rayon de lumière

Le plus joli cas est aussi le plus concret, et il est l’œuvre d’un professeur de lycée.

Jules Antoine Lissajous, agrégé de physique, enseigne au lycée Saint-Louis quand il publie en 1857 un mémoire sur l’étude optique des mouvements vibratoires. Son problème est simple à énoncer : une vibration va trop vite pour être vue. Comment la regarder ?

Son dispositif tient en trois objets. Deux diapasons, placés de façon que leurs vibrations soient perpendiculaires l’une à l’autre. Sur chacun, un petit miroir. Et un rayon de lumière qui se réfléchit sur le premier miroir, puis sur le second, avant d’aller frapper un écran.

Le point lumineux sur l’écran est alors tiré horizontalement par un diapason et verticalement par l’autre. Il dessine une courbe fermée, stable, et sa forme ne dépend que du rapport des deux fréquences. Un rapport de $1$ pour $1$ donne un cercle ou une ellipse ; $1$ pour $2$ donne un huit ; $2$ pour $3$ donne un entrelacs plus savant. Un musicien peut ainsi voir si deux notes sont justes l’une par rapport à l’autre.

Aucune de ces figures n’est la courbe d’une fonction : toutes sont fermées, et la plupart se recoupent. Même la plus simple d’entre elles, l’ellipse du rapport $1$ pour $1$, qui ne se recoupe pas, échoue au test de la verticale.

Ce que ces trois échecs ont en commun

Cercle, lemniscate, figures de Lissajous : dans les trois cas, la courbe entière est décrite non pas comme un ensemble de points $(x\,;f(x))$, mais autrement. Par une condition sur $x$ et $y$ pour les deux premières, par deux mouvements simultanés pour la troisième.

Et c’est là le point qui mérite d’être retenu. Une courbe de fonction est un objet asymétrique : $x$ commande, $y$ obéit. C’est cette asymétrie qui garantit le test de la verticale, et c’est elle que vous avez rencontrée dès le disque du camion sous le nom d’asymétrie de l’image et de l’antécédent.

Les courbes de cet extra sont, elles, symétriques : $x$ et $y$ y jouent le même rôle, aucun ne commande à l’autre. Rien ne les empêche donc de revenir en arrière, de se recouper, de se refermer.

Il existe une manière propre de les traiter, qui consiste à faire dépendre $x$ et $y$ d’une troisième variable, le temps par exemple. C’est ce que fait physiquement le dispositif de Lissajous : à chaque instant, le point lumineux a une abscisse et une ordonnée, chacune parfaitement définie. On appelle cela un paramétrage, vous le rencontrerez plus tard, et vous verrez alors que ces courbes n’échappaient pas aux fonctions : il en fallait simplement deux pour les décrire, au lieu d’une.