F1 · Fonctions

F1 · Généralités sur les fonctions

Ce qu'une courbe dit d'une grandeur qui varie, et ce qu'elle n'en dit pas

« Plût à Dieu que ces calculs eussent été exécutés par la vapeur ! »

— Charles Babbage, Londres, 1821, devant deux tables de nombres qui ne s'accordaient pas (propos rapporté par John Herschel)

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition un seul nombre : c'est cette unicité, et rien d'autre, qui fait qu'une machine peut tracer une courbe
•L'image se calcule, les antécédents se cherchent : un nombre a une image et une seule, mais zéro, un ou plusieurs antécédents, et c'est l'asymétrie de tout le chapitre
•Une fonction n'est pas obligée d'être une formule : un tableau, une courbe ou une phrase en définissent une aussi bien, et le visage change sans que la correspondance change

ACT-2NDE-F1 Le disque du camion : un gendarme sort d'un tachygraphe un disque de papier gravé par un stylet et doit dire si le camion a dépassé la limite. Quatre phases à mener seul pour rencontrer l'asymétrie de l'image et de l'antécédent, et un enregistrement troué, avant que le cours n'ait rien nommé

COURS-2NDE-F1 L'ouverture et le paragraphe 1 : Marseille, 1<sup>er</sup> février 1885, une cabane sur la corniche où un stylet écrit le niveau de la mer sans que personne ne calcule rien, puis le procédé, l'image et l'antécédent, et les quatre visages d'une même correspondance

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

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L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Image, antécédent, ensemble de définition et test de la verticale

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~15 min · ★★★

QCM, vrai ou faux, chasse à l'erreur, lectures graphiques

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Les automatismes, sans calculatrice

10 questions · ~8 min · ★★

Les gestes de calcul que l'on doit poser sans réfléchir

EXO-2NDE-F1 L'Atelier : trente exercices en six parties, du procédé et de ce qu'il n'est pas jusqu'à la lecture d'un tracé, en passant par les antécédents par le calcul, l'ensemble de définition et le point sur la courbe, puis quatre histoires pour le plaisir

EXO-2NDE-F1-CORR Le corrigé détaillé des trente exercices, défis étoilés compris

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Fonction

$f : x \longmapsto f(x) \;\, \text{un seul } f(x) \text{ pour chaque } x \text{ de } \mathcal{D}_f$

Antécédent

$a \text{ antécédent de } k \iff a \in \mathcal{D}_f \text{ et } f(a) = k$

Combien d'antécédents ?

$\text{zéro, un ou plusieurs} \;\text{: c'est l'asymétrie}$

Conclure une recherche d'antécédents

$\text{une phrase d'antécédents, jamais } \mathcal{S} = \{\dots\}$

Écriture par compréhension

$\mathcal{D} = \{\, x \in \mathbb{R} \mid \text{condition sur } x \,\}$

Les deux obstacles

$\text{dénominateur} \neq 0 \qquad \text{sous un radical} \geqslant 0$

Dénominateur factorisé

$(x-a)(x-b) \neq 0 \iff x \neq a \text{ et } x \neq b$

Un trou coupe la droite en deux

$\text{pour tout réel } a : \; \mathbb{R} \setminus \{a\} = \;]-\infty\,;a[ \;\cup\; ]a\,;+\infty[$

Couple et paire

$(a\,;b) \text{ ordonné} \qquad \{a\,;b\} \text{ sans ordre}$

Courbe représentative

$\mathcal{C}_f = \{\, (x\,;f(x)) \mid x \in \mathcal{D}_f \,\}$

Un point est-il sur la courbe ?

$M(a\,;b) \in \mathcal{C}_f \iff a \in \mathcal{D}_f \text{ et } f(a) = b$

Test de la verticale

$\text{toute verticale rencontre } \mathcal{C}_f \text{ au plus une fois}$

Flashcards · définitions, gestes et pièges du chapitre

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FICHE-2NDE-F1 La carte mentale à quatre branches, les six gestes du chapitre, le tableau qui range la question et le calcul, les deux obstacles et le troisième, et la bande des pièges qui coûtent des points

COURS-2NDE-F1 Les six méthodes et leurs douze exemples jumelés, le rituel à trois temps de l'ensemble de définition, le test d'appartenance d'un point, et la clôture « Ce que la cabane a écrit », où une courbe tracée par une machine fixe l'altitude zéro des cartes de France

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

Les réponses des blocs « À vous »

Les réponses des douze exemples jumelés du cours, deux par méthode, avec la surprise du jumeau M2a, où les deux solutions trouvées sont l'une et l'autre à écarter. Le cours ne les donne nulle part ailleurs : cherchez d'abord, comparez ensuite.

Cent soixante ans pour une définition

Le prolongement de la clôture et de la partie VI de l'Atelier : Leibniz emploie le mot en 1673 pour des grandeurs tirées d'un dessin, Euler impose la notation en 1748, et il faut attendre 1837 pour qu'une fonction cesse d'être obligée d'avoir une formule.

Oresme et la naissance du graphique

Le prolongement de la note de marge du paragraphe 3 : à Paris, vers 1350, un maître dresse au-dessus de chaque instant une hauteur proportionnelle à l'intensité. Trois siècles avant Descartes, c'est le geste que vous faites en plaçant un point.

Les courbes qui refusent d'être des graphes

La réponse au parcours Excellence du cours : le cercle, la lemniscate et les figures que Lissajous fait dessiner à deux diapasons en 1857. Toutes sont de belles courbes, aucune n'est la courbe d'une fonction, et le test de la verticale dit pourquoi.

Des domaines plus étranges

Le prolongement du domaine troué : après un trou, puis deux, que se passe-t-il quand on en perce une infinité ? Une fonction qui vaut 1 sur les entiers et 0 ailleurs a un domaine parfaitement défini et une courbe qu'aucun stylet ne tracera jamais.

Les roues de Babbage, à faire tourner

Le script que le DM ne pouvait pas porter : la machine à différences programmée, à régler sur la table de votre choix. Combien d'additions pour mille valeurs, où la table trahit quand elle n'est pas polynomiale, et ce que donne la septième valeur de l'exercice 23.

La manufacture à logarithmes de Prony

Le prolongement de l'encadré du DM : à partir de 1791, quatre-vingts personnes remplissent des colonnes de chiffres sans savoir ce qu'elles calculent, organisées en trois sections comme un atelier. La machine de Babbage existait déjà, et elle était faite de gens.

Écrire « la fonction $f(x)$ » est la faute la plus fréquente du chapitre, et elle n'est pas qu'une question de forme : $f$ est le procédé, la machine, tandis que $f(x)$ est le nombre qu'elle produit quand on lui donne $x$. On dit donc « la fonction $f$ », ou « l'image de $x$ par $f$ ». La même distinction sépare la recette du gâteau.

Note de notation

DM1-2NDE-F1 La machine qui écrivait des tables : Londres, 1821, deux hommes comparent deux tables de nombres et n'y trouvent que des fautes. Une machine qui ne sait qu'additionner les écrit toutes, débusque une erreur sans refaire un seul calcul, puis rencontre ce qu'elle n'écrira jamais. Entièrement facultatif, et sans corrigé