G2 · Geometrie
G2 · Vecteurs
Algebre du Deplacement — de Grassmann au calcul vectoriel
« La science de la grandeur extensive constitue la branche generale de la mathematique a laquelle se rattachent toutes les autres branches. »
— Hermann Grassmann, Die lineale Ausdehnungslehre, 1844
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Definitions cles
Voir les cartes →- •Un vecteur $\vec{u}$ decrit un deplacement par sa direction, son sens et sa norme
- •Les coordonnees du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$
- •Deux vecteurs sont colineaires si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$
ACT-G2 Voir aussi l'activite de decouverte distribuee en classe
COURS-G2 Section 1 : Notion de vecteur et coordonnees
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Formules essentielles
Memento
Coordonnees d'un vecteur
$\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$
Norme
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Milieu
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
Colinearite
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y = 0$
Parallelisme
$d \parallel d' \iff \text{vecteurs directeurs colineaires}$
Translation
La translation qui transforme le point $A$ en le point $B$ est la transformation qui, à tout point $M$ du plan, associe l'unique point $M'$ tel que $[ABM'M]$ soit un parallélogramme (éventuellement aplati).
Vecteur
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'objet mathématique qui caractérise la translation de $A$ vers $B$. Il est défini par :
• sa direction (celle de la droite $(AB)$) ;
• son sens (de $A$ vers $B$) ;
• sa norme (la longueur $AB$).
On note également $\vec{u}$, $\vec{v}$, etc.\ pour désigner des vecteurs sans préciser leurs extrémités.
Somme
Soient $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ deux vecteurs. Leur somme $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées :
$$\boxed{\vec{u} + \vec{v} \;\binom{x + x'}{y + y'}}$$
Produit par un scalaire
Soit $\vec{u}\binom{x}{y}$ un vecteur et $k$ un réel. Le produit de $\vec{u}$ par $k$ est le vecteur :
$$\boxed{k\vec{u} \;\binom{kx}{ky}}$$
Vecteur nul et vecteur opposé
• Le vecteur nul $\vec{0}\binom{0}{0}$. Pour tout point $A$ : $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
• L'opposé de $\vec{u}\binom{x}{y}$ est le vecteur $-\vec{u}\binom{-x}{-y}$. On a $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
• $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$, autrement dit : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$).
Déterminant de deux vecteurs
Soient $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ deux vecteurs. On appelle déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ le nombre réel :
$$\boxed{\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y}$$
Vecteur directeur
Un vecteur $\vec{u} \neq \vec{0}$ est un vecteur directeur d'une droite $d$ s'il existe deux points $A$, $B$ de $d$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$.
Distance entre deux points
La distance entre deux points $A(x_A\,; y_A)$ et $B(x_B\,; y_B)$ est :
$$\boxed{AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$$
Critère d'égalité
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées :
$$\boxed{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}}$$
Propriétés du produit par un scalaire
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et tous réels $k$, $k'$ :
• $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ \quad (distributivité sur les vecteurs)
• $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$ \quad (distributivité sur les scalaires)
• $k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}$ \quad (associativité)
• $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ \quad et \quad $0 \cdot \vec{u} = \vec{0}$
Caractérisation vectorielle du milieu
$M$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si :
$$\boxed{\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}}$$
Alignement de trois points
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Centre de gravité d'un triangle
Soit $ABC$ un triangle avec $A(x_A\,; y_A)$, $B(x_B\,; y_B)$, $C(x_C\,; y_C)$. Le point :
$$\boxed{G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}\,; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)}$$
vérifie $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. C'est le centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle.
Flashcards · 20 cartes · 7 categories
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COURS-G2 Relis les proprietes et definitions du cours
Phase 4
Aller plus loin
Ressources complementaires et approfondissement
L'oeuvre de Grassmann, ignoree de son vivant, est aujourd'hui reconnue comme fondatrice de l'algebre lineaire. La notation vectorielle moderne $\vec{u}$ ne s'impose qu'au XXe siecle.
Note historique
DM-G2 Devoir maison : Le Cap Juste