G2 · Geometrie
G2 · Vecteurs
Algebre du Deplacement — de Grassmann au calcul vectoriel
« La science de la grandeur extensive constitue la branche generale de la mathematique a laquelle se rattachent toutes les autres branches. »
— Hermann Grassmann, Die lineale Ausdehnungslehre, 1844
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Definitions cles
Voir les cartes →- •Un vecteur $\vec{u}$ decrit un deplacement par sa direction, son sens et sa norme
- •Les coordonnees du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$
- •Deux vecteurs sont colineaires si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$
ACT-G2 Voir aussi l'activite de decouverte distribuee en classe
COURS-G2 Section 1 : Notion de vecteur et coordonnees
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EXO-G2 Complete avec le recueil d'exercices distribue en classe
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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards
Formules essentielles
Memento
Coordonnées d'un vecteur
$\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}$
Norme
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Distance entre deux points
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Somme de deux vecteurs
$\vec{u} + \vec{v}\ \binom{x + x'}{y + y'}$
Produit par un réel
$k\,\vec{u}\ \binom{kx}{ky}$
Coordonnées du milieu
$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$
Caractérisation du milieu
$M \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$
Déterminant
$\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$
Colinéarité
$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff xy' - x'y = 0$
Alignement de trois points
$A,\ B,\ C \text{ alignés} \iff \det\bigl(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\bigr) = 0$
Parallélisme
$d \parallel d' \iff \text{vecteurs directeurs colinéaires}$
Flashcards · 20 cartes · 7 categories
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COURS-G2 Relis les proprietes et definitions du cours
Phase 4
Aller plus loin
Ressources complementaires et approfondissement
L'oeuvre de Grassmann, ignoree de son vivant, est aujourd'hui reconnue comme fondatrice de l'algebre lineaire. La notation vectorielle moderne $\vec{u}$ ne s'impose qu'au XXe siecle.
Note historique
DM-G2 Devoir maison : Le Cap Juste