L'anneau où 6 se factorise deux fois

Le devoir vous a fait construire un monde et vous en a fait mesurer la solidité. Cette page vous emmène dans le monde d’à côté, celui qu’on obtient en remplaçant $-1$ par $-5$ sous la racine, et où tout casse. La comparaison est l’essentiel : ce n’est qu’en voyant ce qui peut mal tourner qu’on comprend ce qu’on avait entre les mains. Tout ce qui suit se fait avec les outils du chapitre, et rien de plus : la norme multiplicative de l’exercice 28 de l’Atelier, et l’idée que passer aux normes transporte une question difficile vers les entiers naturels, où l’on sait tout.

Le monde

Considérons l’ensemble

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \left\{\, a + b\sqrt{-5} \;;\; a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{Z} \,\right\} ,$

où $\sqrt{-5}$ désigne le nombre complexe $i\sqrt{5}$. Il est stable par somme et par produit, puisque pour tous entiers $a$, $b$, $c$, $d$,

$\left(a + b\sqrt{-5}\right)\left(c + d\sqrt{-5}\right) = (ac - 5bd) + (ad + bc)\sqrt{-5} .$

On y calcule donc exactement comme dans les entiers de Gauss, à ceci près qu’un carré de $\sqrt{-5}$ rapporte $-5$ au lieu de $-1$. La norme se définit de même, par le produit avec le conjugué : pour tous $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}$,

$N\!\left(a + b\sqrt{-5}\right) = \left(a + b\sqrt{-5}\right)\left(a - b\sqrt{-5}\right) = a^2 + 5b^2 .$

Elle est à valeurs dans $\mathbb{N}$, et elle est multiplicative pour la même raison que dans $\mathbb{Z}[i]$ : le conjugué d’un produit est le produit des conjugués. Cette seule propriété va tout décider.

Premier calcul, celui des inversibles. Soient $z \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ et $w \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Si $zw = 1$, alors $N(z)N(w) = 1$ avec deux entiers naturels, donc $N(z) = 1$ ; en écrivant $z = a + b\sqrt{-5}$, cela signifie $a^2 + 5b^2 = 1$, ce qui impose $b = 0$ et $a = \pm 1$. Les seuls inversibles sont $1$ et $-1$, exactement comme dans $\mathbb{Z}$, et deux fois moins que dans $\mathbb{Z}[i]$.

Six, deux fois

Voici l’accident.

$6 = 2 \times 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) ,$

la seconde égalité parce que $\left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) = 1 - (-5) = 6$.

Deux écritures. Les quatre facteurs $2$, $3$, $1 + \sqrt{-5}$ et $1 - \sqrt{-5}$ sont irréductibles, et les deux listes sont bien distinctes, aucun des deux premiers n’étant un des deux derniers déguisé par un inversible. C’est exactement ce que la question Q15b du devoir vous laisse établir, et l’on n’en dira donc qu’une phrase : il n’existe dans ce monde aucun élément de norme $2$ ni aucun élément de norme $3$, ce que la forme $a^2 + 5b^2$ rend visible en trois lignes que le devoir vous laisse, et ce seul trou suffit à bloquer toute cassure supplémentaire des quatre facteurs.

Le nombre $6$ possède donc ici deux décompositions en irréductibles qui n’ont aucun facteur commun. Le théorème fondamental de l’arithmétique, celui que vous croyez inévitable depuis le collège, est faux dans ce monde.

Ce qui tombe avec lui

Le lemme d’Euclide meurt en même temps, et il meurt en une ligne : $2$ divise le produit $\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$, qui vaut $6$, mais ne divise aucun des deux facteurs, car $N(2) = 4$ ne divise pas $6$. Un irréductible qui divise un produit sans diviser aucun facteur : dans $\mathbb{Z}$, cela n’existe pas, et c’est précisément ce que le devoir a démontré dans $\mathbb{Z}[i]$.

Où la chaîne se rompt-elle exactement ? À la toute première marche, et vous pouvez la voir. Le devoir a obtenu la division euclidienne dans $\mathbb{Z}[i]$ en remarquant qu’aucun point du plan n’est loin d’un nœud du réseau : les nœuds forment un quadrillage de côté $1$, le point le plus mal placé est un centre de carré, et sa distance au nœud le plus proche vaut $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$, strictement inférieure à $1$. Refaites la mesure ici. Le réseau de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ n’est plus carré : ses mailles sont des rectangles très étirés, de côtés $1$ et $\sqrt{5}$, et la distance du centre d’une maille au nœud le plus proche vaut

$\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}22 ,$

et cette fois elle dépasse $1$. Le reste de la division ne peut plus être garanti plus petit que le diviseur : l’argument du devoir tombe. Et il tombe pour de bon, car l’unicité vient d’être mise en défaut plus haut, et la chaîne qui suit l’aurait rétablie. Pas de division euclidienne, donc pas d’algorithme d’Euclide, donc pas de Bézout, donc pas de lemme d’Euclide, donc pas d’unicité. Toute la cathédrale du devoir s’écroule parce qu’une maille est trop longue.

Kummer, Lamé, et le 1er mars 1847

Cette catastrophe a une histoire, et elle est datée au jour près.

Le 1er mars 1847, à l’Académie des sciences de Paris, Gabriel Lamé annonce une démonstration du grand théorème de Fermat. Son idée est de factoriser $x^n + y^n$ en facteurs du premier degré à l’aide de nombres complexes que le chapitre C3 vous fera construire, puis de raisonner sur cette factorisation. Joseph Liouville, présent, soulève aussitôt l’objection : rien ne garantit que la décomposition en irréductibles soit unique dans les mondes de nombres où Lamé travaille. L’objection paraît technique ; elle est fatale. Le 24 mai suivant, Liouville lit à l’Académie une lettre d’Ernst Kummer, qui avait rencontré le phénomène à Breslau dans ses recherches sur les entiers cyclotomiques et savait déjà exactement dans quels cas l’unicité tombe.

Une précision de rigueur, car l’histoire est souvent racontée autrement. On lit fréquemment que Kummer aurait lui-même soumis à Dirichlet, en 1843, une fausse démonstration du théorème de Fermat fondée sur cette même erreur, et que Dirichlet l’aurait détrompé. L’historien Harold Edwards a montré en 1975 que l’anecdote ne repose sur aucune source solide, et que le chemin de Kummer vers les entiers cyclotomiques passait par les lois de réciprocité supérieures, pas par Fermat. C’est une légende, tenace et fausse.

Ce que Kummer fait est autrement plus intéressant que de réparer une démonstration. En 1847, il postule l’existence de nombres idéaux : des diviseurs qui n’habitent pas le monde considéré, mais dont on décide qu’ils existent ailleurs, et qui rétablissent l’unicité en se glissant entre les facteurs visibles. C’est le geste exact du chapitre, une marche plus haut : quand un objet manque, on l’ajoute.

La réparation de Dedekind, sur notre exemple

Le devoir vous a dit ce que Richard Dedekind en a tiré en 1871, puis exposé en 1877 : l’idéal, qui remplace le nombre idéal de Kummer, insaisissable, par un ensemble de nombres parfaitement défini. Vous n’avez pas les outils pour manipuler ces objets, et ce n’est pas nécessaire pour voir le miracle.

On fabrique trois ensembles, notés $\mathfrak{p}_2$, $\mathfrak{p}_3$ et $\mathfrak{p}_3'$, chacun formé de toutes les combinaisons que l’on peut bâtir sur deux nombres du monde : $\mathfrak{p}_2$ sur $2$ et $1 + \sqrt{-5}$, puis $\mathfrak{p}_3$ sur $3$ et $1 + \sqrt{-5}$, et $\mathfrak{p}_3'$ sur $3$ et $1 - \sqrt{-5}$. On sait multiplier de tels ensembles, et l’on note $(z)$ celui qui est bâti sur le seul nombre $z$, c’est-à-dire l’ensemble de ses multiples. Le calcul, mené à la main en quelques lignes, donne alors

$(2) = \mathfrak{p}_2^{\,2}, \qquad (3) = \mathfrak{p}_3\,\mathfrak{p}_3', \qquad \left(1 + \sqrt{-5}\right) = \mathfrak{p}_2\,\mathfrak{p}_3, \qquad \left(1 - \sqrt{-5}\right) = \mathfrak{p}_2\,\mathfrak{p}_3' .$

Reportez dans les deux factorisations rivales. La première, $2 \times 3$, donne $\mathfrak{p}_2^{\,2}\,\mathfrak{p}_3\,\mathfrak{p}_3'$. La seconde donne $\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3 \cdot \mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3'$, c’est-à-dire le même produit, terme pour terme.

Les deux décompositions n’étaient donc pas contradictoires : elles étaient deux regroupements différents des mêmes quatre briques, et les briques n’étaient pas des nombres. L’irréductibilité de $2$ dans ce monde ne signifiait pas que $2$ est indivisible ; elle signifiait que son diviseur $\mathfrak{p}_2$ n’y habite pas. Kummer avait raison de le nommer avant de savoir le définir.

Le bon monde rend le théorème facile

Reste à mesurer ce que vous avez gagné dans le devoir sans le savoir, et le meilleur moyen est de poser la même question dans le mauvais monde.

Dans $\mathbb{Z}[i]$, la factorisation est unique, et vous en avez tiré le critère complet des nombres premiers impairs qui s’écrivent $a^2 + b^2$ : ceux dont le reste dans la division par $4$ vaut $1$. Une congruence, un modulo, une réponse.

Posez maintenant la question jumelle, celle qui vit dans $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ : quels nombres premiers s’écrivent $a^2 + 5b^2$ ? La réponse existe, mais elle est d’une autre nature. Un nombre premier impair distinct de $5$ s’écrit $a^2 + 5b^2$ si et seulement si son reste dans la division par $20$ vaut $1$ ou $9$ ; et si ce reste vaut $3$ ou $7$, ce n’est pas $p$ mais $2p$ qui s’écrit ainsi. Vérifiez, cela ne coûte rien : $41 = 6^2 + 5 \times 1^2$ et $41$ laisse $1$ ; $29 = 3^2 + 5 \times 2^2$ et $29$ laisse $9$ ; $23$ ne s’écrit pas, mais $46 = 1^2 + 5 \times 3^2$ et $23$ laisse $3$.

Cet énoncé a été conjecturé par Fermat au milieu du XVIIe siècle. Sa démonstration a demandé plus d’un siècle, les formes quadratiques de Lagrange et la théorie des genres de Gauss, et on la comprend aujourd’hui comme le premier cas non trivial d’une théorie qui ne s’achèvera qu’au XXe siècle. La question est la même ; le monde où on la pose ne l’est pas.

C’est la morale du devoir, et elle est plus large que lui. Un théorème n’est jamais difficile dans l’absolu : il est difficile dans le monde où on l’énonce. Choisir ce monde est un acte mathématique, souvent le plus décisif de tous.

Sources

• H. M. Edwards, « The background of Kummer’s proof of Fermat’s Last Theorem for regular primes », Archive for History of Exact Sciences, 1975 : la réfutation de l’anecdote Kummer-Dirichlet de 1843.
• Comptes rendus de l’Académie des sciences, séances du 1er mars et du 24 mai 1847 : l’annonce de Lamé, l’objection de Liouville, la lettre de Kummer.
• E. E. Kummer, « Zur Theorie der complexen Zahlen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1847 : les nombres idéaux.
• R. Dedekind, supplément X à la deuxième édition des Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet, 1871, et « Sur la théorie des nombres entiers algébriques », 1877.
• D. A. Cox, Primes of the Form $x^2 + ny^2$, chapitre 1 : la conjecture de Fermat sur $x^2 + 5y^2$ et le critère modulo $20$.
• DM1 du chapitre, question Q15b et encadré « Brunswick, 1877 » : le point de départ de cette page.