C1 · complexes

C1 · Le corps des nombres complexes

D'où vient le nombre $i$, et pourquoi il fallait bien qu'il vienne

« Si l'on avait appelé $+1$, $-1$ et $\sqrt{-1}$ unités directe, inverse et latérale, au lieu de positive, négative et imaginaire, il n'aurait guère pu être question d'une telle obscurité. »

— Carl Friedrich Gauss, 1831

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•La thèse du chapitre tient en trois mots : un objet mathématique est d'abord rencontré, puis utilisé parce qu'il marche, et enfin fondé ; $i$ apparaît en $1545$ chez Cardan, sert en $1572$ chez Bombelli, et n'est défini proprement qu'en $1837$ chez Hamilton
•Ce n'est pas $x^2 + 1 = 0$ qui force la main : rien n'oblige cette équation à avoir une solution. C'est le troisième degré, où la solution est entière, visible, et où le seul chemin connu pour l'atteindre traverse une racine carrée de nombre négatif
•$i$ n'est jamais postulé : $\mathbb{C}$ est l'ensemble des couples de réels muni d'un produit tordu, $\mathbb{R}$ s'y plonge par $\varphi(a) = (a\,;0)$, et $i = (0\,;1)$ est exhibé, puis on calcule que $i^2 = \varphi(-1)$

ACT-EXP-C1 Le détour interdit : la même méthode de del Ferro et Cardan appliquée à deux équations jumelles. La première se résout entièrement dans les réels. La seconde a une solution entière et trois racines réelles visibles, et pourtant elle exige en chemin la racine carrée d'un nombre négatif. Quatre phases, à faire seul, chaque engagement écrit avant la page suivante

COURS-EXP-C1 Sections 1 à 3 : l'escalier des élargissements et les quatre crises déjà traversées, le scandale de Cardan et la pensée sauvage de Bombelli qui calcule avec ce qu'il ne comprend pas, puis la question de Wessel, où le quart de tour fait apparaître $i$ sans qu'on l'ait supposé

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Forme algébrique, conjugué, inverse, second degré à discriminant négatif

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Le tour complet du chapitre

15 questions · ~13 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations, de la construction par les couples au comptage des racines

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Le détour de Cardan

10 verdicts · ~9 min · ★★★★

Décider si la formule passera par l'impossible, avant de la lancer : le signe du discriminant cubique, les trois régimes, et les deux hypothèses du détour inévitable

EXO-EXP-C1 L'Atelier : 30 exercices en six parties, du calcul dans $\mathbb{C}$ au corps qu'on ne peut pas ordonner, en passant par le second degré et ce qu'il cache, les polynômes et leurs racines, la construction remise en cause, et les traces de Cardan

EXO-EXP-C1-CORR Le corrigé complet des trente exercices, défis étoilés compris, avec les rédactions modèles sur les questions pivots

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Le détour de Cardan

$\left(\dfrac{q}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{p}{3}\right)^3 < 0 \iff x^3 = px + q \text{ a } 3 \text{ racines réelles distinctes}$

Le nombre $i$, construit

$i = (0\,;1) \quad \text{et} \quad i^2 = (-1\,;0) = \varphi(-1)$

Le produit des couples

$(a\,;b) \times (c\,;d) = (ac - bd\,;\, ad + bc)$

Forme algébrique

$\forall z \in \mathbb{C},\ \exists! (a\,;b) \in \mathbb{R}^2 : z = a + ib$

Parties réelle et imaginaire

$z = a + ib,\ (a\,;b) \in \mathbb{R}^2 : \operatorname{Re}(z) = a,\ \operatorname{Im}(z) = b \text{ (réels)}$

Conjugué

$z = a + ib,\ (a\,;b) \in \mathbb{R}^2 : \overline{z} = a - ib \ \text{ et } \ z\,\overline{z} = a^2 + b^2$

Le conjugué passe partout

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \quad \overline{z\,z'} = \overline{z}\,\overline{z'} \quad \overline{z^{\,n}} = \left(\overline{z}\right)^n$

Inverse dans $\mathbb{C}$

$z = a + ib \neq 0,\ (a\,;b) \in \mathbb{R}^2 : \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{a^2 + b^2}$

Réel, imaginaire pur

$z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z \qquad z \in i\mathbb{R} \iff \overline{z} = -z$

Second degré réel, $\Delta < 0$

$a \neq 0,\ (a\,;b\,;c) \in \mathbb{R}^3 : z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \text{, conjuguées}$

Racine et factorisation

$P(\alpha) = 0 \iff \exists Q,\ \forall z \in \mathbb{C},\ P(z) = (z - \alpha)\,Q(z)$

Théorème de d'Alembert-Gauss

$\deg P = n \geqslant 1 : n \text{ racines dans } \mathbb{C} \text{, avec multiplicité}$

Flashcards · 24 cartes · 8 catégories

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FICHE-EXP-C1 La carte mentale à quatre branches (d'où vient $i$, la construction, calculer, résoudre), la construction de $\mathbb{C}$ en quatre temps, le tableau « quel outil pour quelle question », les trois marches $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, et les six pièges qui coûtent des points

COURS-EXP-C1 Sections 4 à 6 : la définition par les couples, la preuve que $\mathbb{C}$ est un corps commutatif, le plongement de $\mathbb{R}$ et ce qu'« identifier » veut dire, le conjugué, l'inverse, et ce que l'on perd en chemin (section 4) ; le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ et son piège d'entrée, le second degré à coefficients réels, la factorisation (section 5) ; enfin d'Alembert-Gauss, le mur de la dimension 3 et le dernier mot de Gauss (section 6)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

La série des Coulisses ouvre ici sa propre numérotation, distincte de celle de la spécialité. Sept pièces rouvrent les tiroirs du cours : un défi public à Milan le 10 août 1548, et ce qu'il en coûta vraiment aux cinq hommes du secret ; un ingénieur qui, en 1629, compte les racines impossibles parce que les comptes tombent juste, cent soixante-dix ans avant Gauss ; la phrase entière de Descartes, que presque personne ne lit et qui dit le contraire de ce qu'on lui fait dire ; le plan dit d'Argand, présenté neuf ans plus tôt par un arpenteur norvégien oublié quatre-vingt-dix-huit ans ; une porte de la dimension 3 refermée à mains nues avec deux entiers bien choisis ; et un point qu'on suit à l'addition et à la multiplication, jusqu'à la figure la plus célèbre du XXe siècle. Six tiroirs restent fermés ; ils s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°1

Le duel de 1548

Ferrari contre Tartaglia, Milan, 10 août 1548. Le cours vous a dit en une ligne que Tartaglia y perdit sa réputation ; voici la mécanique complète d'un défi public au XVIe siècle, les enjeux, les serments trahis, et le calcul que les deux hommes se disputaient.

Hamilton et le Broom Bridge

Un garçon de treize ans invente les couples de réels, puis passe quinze ans à chercher ce qui vient après le plan. Ses enfants le lui demandent chaque matin au petit déjeuner, et il répond chaque matin la même chose, jusqu'au 16 octobre 1843, sur un pont de Dublin.

L'anneau où 6 se factorise deux fois

Un ensemble de nombres où la factorisation en irréductibles cesse d'être unique, et où le lemme d'Euclide tombe. De quoi mesurer ce que le devoir maison a vraiment démontré en établissant que les entiers de Gauss, eux, se comportent bien.

Le casus irreducibilis

Le cours a montré que le détour par l'impossible arrive ; il n'a pas montré qu'il est inévitable. L'idée de la démonstration, par la théorie de Galois : le groupe de l'extension, et l'impossibilité de bâtir une tour de radicaux réels. L'idée, pas la preuve complète.

Un seul corps $\mathbb{C}$

Pourquoi la construction par les couples n'est pas un choix arbitraire : à isomorphisme près, il n'existe qu'un seul corps obtenu en adjoignant à $\mathbb{R}$ une racine de $X^2 + 1$. La preuve d'unicité menée jusqu'au bout, et la construction par quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$, celle que le chapitre A1 rendra disponible.

Trois façons de multiplier le plan