Pourquoi le détour est parfois inévitable

Le cours a énoncé le théorème et vérifié ses deux hypothèses sur $x^3 - 6x - 2 = 0$, sans le démontrer : la preuve complète appartient à la théorie de Galois. Cette page ne prétend pas la donner. Elle donne l’idée, l’endroit précis où le raisonnement bascule, et nomme ce qu’elle emprunte.

L’énoncé, et ses deux hypothèses

Le casus irreducibilis, démontré par Wantzel en 1843. Soit une équation du troisième degré à coefficients rationnels, irréductible sur $\mathbb{Q}$, possédant trois racines réelles. Alors aucune de ses racines ne peut s’écrire au moyen d’un nombre fini de radicaux portant sur des nombres réels.

Ne l’appelez jamais « théorème de Wantzel » tout court : en France ce nom désigne son critère de constructibilité à la règle et au compas de 1837, que vous croiserez en C3.

Aucune des deux hypothèses ne peut être affaiblie. Sans l’irréductibilité, la conclusion tombe : $x^3 - 15x - 4 = 0$ a trois racines réelles, mais sa racine $4$ se lit à l’œil. Sans les trois racines réelles, elle tombe aussi : la formule de Cardan ne rencontre alors aucune racine carrée de nombre négatif.

Le discriminant, seul juge

Écrivons la cubique sous forme réduite $X^3 + pX + q$. Attention au changement de convention : le cours écrit $x^3 = px + q$, donc ses deux coefficients sont ici les opposés des miens. On pose

$$\begin{aligned} \Delta &= -4p^3 - 27q^2 \\ &= (r_1 - r_2)^2 (r_1 - r_3)^2 (r_2 - r_3)^2 , \end{aligned}$$

où $r_1$, $r_2$, $r_3$ sont les racines. La seconde écriture explique tout : si les trois racines sont réelles et distinctes, $\Delta$ est un produit de trois carrés de réels non nuls, donc $\Delta > 0$. La réciproque vaut aussi, et le critère $\Delta_C$ du cours n’en est qu’une réécriture.

Exemple minimal : $x^3 - 3x - 1 = 0$. Ici $p = -3$ et $q = -1$, donc $\Delta = 108 - 27 = 81 > 0$, et une racine rationnelle serait un entier divisant $-1$, alors que ni $1$ ni $-1$ n’annule le polynôme, les valeurs obtenues étant $-3$ et $1$. Les deux hypothèses sont réunies. Ses trois racines s’écrivent sous la forme $2\cos\theta$, mais ce calcul est réservé à un devoir du chapitre C3.

Ce que « par radicaux réels » veut dire, exactement

L’énoncé n’a de sens qu’une fois l’expression définie. Un nombre s’exprime par radicaux réels s’il existe une suite finie de sous-corps de $\mathbb{R}$

$$\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_n ,$$

où chaque étage s’obtient du précédent en lui adjoignant une racine réelle : pour tout indice $m$, il existe un élément $a_m \in K_m$ avec $a_m > 0$ et un nombre premier $\ell_m$ tels que $K_{m+1} = K_m\left(\sqrt[\ell_m]{a_m}\right)$, et le nombre visé appartient à $K_n$. Les exposants peuvent être pris premiers (une racine $12$-ième est une racine carrée d’une racine carrée d’une racine cubique), et chaque étage supposé strictement plus grand que le précédent.

Puisque $\Delta > 0$, le nombre $\sqrt{\Delta}$ est lui-même un radical réel : on peut le glisser dès $K_0$, gratuitement. Sur notre exemple il n’y a rien à glisser, car $\sqrt{81} = 9$ est rationnel.

Une racine les donne toutes

Un fait rend la situation rigide : si un corps $K$ contenant $\sqrt{\Delta}$ contient une racine $r_1$, il les contient toutes les trois. En effet $r_2 + r_3 = -r_1$, tandis que $(r_1 - r_2)(r_1 - r_3) = P'(r_1) = 3r_1^2 + p$ est non nul, les trois racines étant distinctes, et que l’identité du discriminant donne

$$r_2 - r_3 = \pm\,\dfrac{\sqrt{\Delta}}{3r_1^2 + p} .$$

Somme et différence de $r_2$ et $r_3$ vivent dans $K(r_1)$, donc $r_2$ et $r_3$ aussi. Dès qu’une racine tombe dans un corps, ses deux sœurs tombent avec elle : sur un corps contenant $\sqrt{\Delta}$ où la cubique reste irréductible, le corps de décomposition est donc de degré $3$.

Le cœur de l’affaire

Supposons qu’une racine de la cubique s’exprime par radicaux réels, et regardons le premier étage de la tour qui en contienne une. Ce n’est pas $K_0$, où une racine serait de degré $3$ sur $\mathbb{Q}$ alors que $K_0$ est de degré au plus $2$. Notons-le $K_{m+1} = K_m(t)$, où $t = \sqrt[\ell]{a}$ est réel et $\ell$ premier ; par construction, $K_m$ ne contient aucune racine.

Le degré de $K_{m+1}$ sur $K_m$ vaut $\ell$. La cubique n’ayant aucune racine dans $K_m$ et étant de degré $3$, elle y reste irréductible : le corps engendré par une racine est de degré $3$ sur $K_m$, coincé entre $K_m$ et $K_{m+1}$, et la multiplicativité des degrés force $3$ à diviser $\ell$. Donc $\ell = 3$, et $t$ est une racine cubique réelle.

C’est ici que le réel se casse. Le polynôme $X^3 - a$ possède une seule racine réelle, $t$, et deux racines non réelles, $\omega t$ et $\omega^2 t$, où $\omega = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ vérifie $\omega^3 = 1$. Le corps $K_{m+1}$, qui vit dans $\mathbb{R}$, contient donc une racine de $X^3 - a$ sans les deux autres : il est bancal, alors que le paragraphe précédent le veut parfaitement symétrique.

Rendons la contradiction visible. La famille $\left(1\,;t\,;t^2\right)$ est une base de $K_{m+1}$ sur $K_m$, et la seule relation qui gouverne $t$ est $t^3 = a$. Or $(\omega t)^3 = \omega^3 a = a$ : l’application $\sigma$ qui fixe $K_m$ et envoie $t$ sur $\omega t$ respecte donc l’addition et le produit. Écrivons la racine trouvée :

$$r_1 = x + y\,t + z\,t^2 , \qquad x,\ y,\ z \in K_m .$$

Puisque $\sigma$ fixe les coefficients de la cubique et respecte les opérations, $\sigma(r_1)$ en est encore une racine, donc un réel par hypothèse. Même chose pour $\sigma^2$, qui envoie $t$ sur $\omega^2 t$. Leur différence est donc réelle :

$$\sigma(r_1) - \sigma^2(r_1) = \left(\omega - \omega^2\right)\left(y\,t - z\,t^2\right) = i\sqrt{3}\,\left(y\,t - z\,t^2\right) .$$

Le facteur $y\,t - z\,t^2$ est réel et $i\sqrt{3}$ est imaginaire pur non nul : leur produit n’est réel que s’il est nul. Donc $y\,t = z\,t^2$, puis $y = z\,t$ après division par $t \neq 0$. Si $z$ était non nul, on aurait $t = \dfrac{y}{z} \in K_m$, ce qui viderait l’étage de son contenu. Donc $z = 0$, puis $y = 0$, et il reste $r_1 = x \in K_m$.

Voilà la contradiction : $K_m$ ne devait contenir aucune racine. La tour de radicaux réels n’existe pas.

Ce qui a été admis

Trois emprunts, tous du même rayon. Le degré d’une extension et sa multiplicativité dans une tour ; l’irréductibilité de $X^\ell - a$ sur $K$ dès que $\sqrt[\ell]{a}$ n’y est pas, pour $\ell$ premier, sans quoi la normalisation de la tour serait illusoire ; la légitimité de $\sigma$, qui se justifie en voyant $K_{m+1}$ comme le quotient $K_m[X]/(X^3 - a)$, exactement le mécanisme de la quatrième porte de Cauchy. Rien de difficile, mais de la théorie des corps, hors programme.

La démonstration savante dit la même chose en une ligne : le corps de décomposition de la cubique est galoisien de degré $3$, donc cyclique, et une telle extension ne peut être engendrée par une racine cubique réelle sans que le corps de base contienne déjà $\omega$, ce qu’aucun sous-corps de $\mathbb{R}$ ne peut faire.

Ce qu’on peut faire sans Galois

Le théorème interdit une forme d’écriture, pas un résultat. L’exercice $26$ de l’Atelier en administre la preuve : la solution publiée par Viète vers 1593 pose $x = 2c\cos\theta$ avec $c = \sqrt{-\dfrac{p}{3}}$, ce qui a un sens puisque $\Delta > 0$ impose $p < 0$, et l’équation $x^3 + px + q = 0$ devient $2c^3\cos(3\theta) = -q$. Aucune racine carrée de nombre négatif n’y figure, et $\Delta > 0$ garantit précisément que l’arc cosinus est défini. Le détour est donc évitable, mais à un prix : échanger les radicaux contre une fonction transcendante.

Sources

• Cours C1, section 2.6, parcours X : l’énoncé du théorème et ses deux hypothèses vérifiées sur $x^3 - 6x - 2$.
• Atelier C1, exercice 26 : la solution trigonométrique de Viète, publiée vers 1593.
• P. L. Wantzel, « Classification des nombres incommensurables d’origine algébrique », Nouvelles annales de mathématiques, 1843.