Les formules de Machin

L’exercice 30 de l’Atelier, Un produit étonnamment réel, a laissé une porte ouverte. En calculant $(2+i)(3+i) = 5(1+i)$ et en lisant l’égalité sur les angles, vous avez démontré sans calculatrice que

$$\arctan\dfrac{1}{2} + \arctan\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{4}.$$

Le mécanisme est réutilisable tel quel : une égalité entre deux nombres complexes est deux égalités réelles, l’une sur les longueurs, l’autre sur les angles. Multipliez des nombres à parties entières bien choisies, tombez sur un multiple réel positif de $1+i$, et vous obtenez une identité entre arctangentes. Ces identités ont fourni les décimales de $\pi$ pendant près de trois siècles.

La formule de 1706

John Machin, qui sera professeur d’astronomie au Gresham College de Londres, établit en $1706$ la relation suivante :

$$\dfrac{\pi}{4} = 4\arctan\dfrac{1}{5} - \arctan\dfrac{1}{239}.$$

Elle se démontre exactement comme l’exercice 30. Calculons les puissances de $5+i$ :

$$(5+i)^2 = 25 + 10i + i^2 = 24 + 10i,$$ $$(5+i)^4 = (24+10i)^2 = 576 + 480i + 100\,i^2 = 476 + 480i.$$

Voici maintenant l’identité qui fait tout le travail, et elle se contrôle en une ligne, puisque $(1+i)(239+i) = 239 + i + 239i - 1 = 238 + 240i$ :

$$\boxed{\ (5+i)^4 = 2\,(1+i)(239+i)\ }$$

Lisons-la sur les angles, avec le résultat admis à l’exercice 30. Les trois nombres $5+i$, $1+i$ et $239+i$ ont leurs parties réelle et imaginaire strictement positives, ce qui est exactement l’hypothèse sous laquelle l’angle a été défini ; quant au facteur $2$, multiplier par un réel strictement positif ne change pas l’angle (c’est ce qui a permis d’écrire que $5(1+i)$ a pour angle $\dfrac{\pi}{4}$). L’angle d’un produit étant la somme des angles à un tour près :

$$4\arctan\dfrac{1}{5} \equiv \dfrac{\pi}{4} + \arctan\dfrac{1}{239} \pmod{2\pi}.$$

Un encadrement écarte les autres tours. Comme $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, on a $\arctan\dfrac{1}{5} < \dfrac{\pi}{6}$, donc le membre de gauche appartient à $\left]0\,;\dfrac{2\pi}{3}\right[$ ; le membre de droite appartient à $\left]\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right[$. Les deux vivent dans $\left]0\,;\dfrac{3\pi}{4}\right[$, intervalle de longueur strictement inférieure à $2\pi$ : deux réels congrus modulo $2\pi$ y sont nécessairement égaux. La formule est démontrée.

Et le $239$ ? Il ne tombe pas du ciel, il se trouve par une division. Une fois $(5+i)^4 = 476 + 480i$ calculé, on cherche à en extraire le facteur $1+i$ qui produira l’angle $\dfrac{\pi}{4}$ :

$$\dfrac{476 + 480i}{1+i} = \dfrac{(476+480i)(1-i)}{2} = \dfrac{956 + 4i}{2} = 478 + 2i = 2\,(239 + i).$$

Le nombre $239$ est ce que la division rend, rien de plus. Toute la recherche d’une formule de ce type tient dans ce geste : élever un petit nombre à une puissance, diviser par $1+i$, et espérer que le quotient soit à son tour de la forme $n+i$, à un facteur réel strictement positif près.

Pourquoi cela sert

Le calcul de $\pi$ par les arctangentes repose sur la série de Gregory : pour tout $x \in \left[-1\,;1\right]$,

$$\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \cdots$$

Prise en $x = 1$, elle donne la série de Leibniz, $\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac13 + \dfrac15 - \cdots$, magnifique et parfaitement inutilisable : il lui faut de l’ordre de $10^{100}$ termes pour cent décimales. Prise en $x = \dfrac{1}{5}$, chaque terme est environ $25$ fois plus petit que le précédent, ce qui fait gagner $\log_{10}(25) \approx 1{,}40$ décimale par terme ; en $x = \dfrac{1}{239}$, le facteur est $239^2 = 57\,121$, soit $4{,}76$ décimales par terme. Cent décimales demandent donc environ $72$ termes pour la première série et $21$ pour la seconde, avec des divisions par des entiers courts. C’est faisable à la plume, et Machin l’a fait : cent décimales en $1706$.

Sa méthode a servi jusqu’aux premiers ordinateurs. William Shanks y consacre vingt ans et publie en $1873$ les $707$ premières décimales ; en $1946$ (les sources hésitent entre $1945$ pour la découverte et $1946$ pour sa publication, et je n’ai rien trouvé qui tranche), D. F. Ferguson découvre qu’une erreur s’est glissée à la $528^{\text{e}}$, et que seules $527$ étaient justes. Trois ans plus tard, l’ENIAC recalcule $2\,037$ décimales en soixante-dix heures, toujours avec la formule de Machin.

Deux autres formules du même moule

La première, vous l’avez démontrée à l’Atelier : c’est celle d’Euler, $\dfrac{\pi}{4} = \arctan\dfrac{1}{2} + \arctan\dfrac{1}{3}$, issue de $(2+i)(3+i) = 5(1+i)$.

La seconde, attribuée à Hutton et retrouvée par Euler, se démontre en deux produits :

$$(3+i)^2 = 8 + 6i, \qquad (8+6i)(7+i) = 56 - 6 + 50i = 50\,(1+i),$$

d’où, en lisant les angles et en observant que $2\arctan\dfrac13 + \arctan\dfrac17 < \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$ :

$$\dfrac{\pi}{4} = 2\arctan\dfrac{1}{3} + \arctan\dfrac{1}{7}.$$

Le script

Six lignes suffisent à retrouver les cent décimales de $1706$, en additionnant la série de Gregory en arithmétique décimale de précision fixée.

from decimal import Decimal as D, getcontext
getcontext().prec = 110
def atan_inv(n):                        # arctan(1/n), serie de Gregory
    x = D(1) / n
    return sum((-1)**k * x**(2*k+1) / (2*k+1) for k in range(160))
print(4 * (4*atan_inv(5) - atan_inv(239)))

La sortie commence par $3{,}141\,592\,653\,589\,793\,238\,462\,643\,383\,279\ldots$ et reste juste bien au-delà de la centième décimale.

Sources

• Atelier C1, exercice 30 Un produit étonnamment réel, et son corrigé (questions 1 à 4) pour le mécanisme et le résultat admis sur l’angle d’un produit.
• John Machin, formule publiée en $1706$ par William Jones dans la Synopsis Palmariorum Matheseos, l’ouvrage qui introduit par ailleurs la lettre $\pi$ dans son sens actuel.
• William Shanks, $707$ décimales en $1873$ ; erreur à la $528^{\text{e}}$ décimale relevée par D. F. Ferguson en $1946$ ; calcul de l’ENIAC en $1949$, $2\,037$ décimales.
• Produits vérifiés à la main puis par machine : $(5+i)^2$, $(5+i)^4$, $(476+480i)(239-i) = 114\,244\,(1+i)$, $(5+i)^4 = 2(1+i)(239+i)$, $(3+i)^2(7+i) = 50(1+i)$, et les trois formules contrôlées numériquement contre $\dfrac{\pi}{4}$.