Un seul corps, quatre portes

Le chapitre a construit $\mathbb{C}$ comme l’ensemble des couples de réels. Wessel l’avait construit comme le plan muni d’une rotation ; on peut aussi le construire avec des matrices, ou avec des polynômes. Quatre portes, et une inquiétude légitime : ouvrent-elles bien sur la même pièce ? La réponse est oui, et c’est un théorème. Cette page en donne la démonstration complète, puis franchit la quatrième porte jusqu’au bout.

L’énoncé

Unicité de $\mathbb{C}$. Soit $K$ un corps commutatif contenant $\mathbb{R}$, qui soit de plus un espace vectoriel de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$, les deux structures étant compatibles au sens où le produit d’un réel par un élément de $K$ coïncide avec le produit dans $K$. Alors $K$ est isomorphe à $\mathbb{C}$.

Deux remarques. L’existence n’a pas à être démontrée : c’est le travail de construction du cours, et c’est $\mathbb{C}$ lui-même. Et il est inutile d’exiger en plus un élément de carré $-1$ dans $K$ : l’étape 2 montre que son existence est automatique dès que la dimension vaut $2$.

Étape 1 : tout élément hors de $\mathbb{R}$ donne une base

Comme $\dim_\mathbb{R} K = 2$ et que $\mathbb{R}$ y est de dimension $1$, l’inclusion $\mathbb{R} \subset K$ est stricte : il existe $j \in K$ qui n’est pas réel.

La famille $(1\,;j)$ est libre. Soient en effet $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\mu \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda + \mu j = 0$. Si $\mu \neq 0$, alors $j = -\dfrac{\lambda}{\mu} \in \mathbb{R}$, ce qui est exclu ; donc $\mu = 0$, puis $\lambda = 0$. Deux vecteurs libres dans un espace de dimension $2$ : c’est une base.

Étape 2 : $K$ contient un élément de carré $-1$

L’élément $j^2$ se décompose dans cette base : il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\beta \in \mathbb{R}$ tels que $j^2 = \alpha + \beta j$. Complétons le carré en posant $u = j - \dfrac{\beta}{2}$ :

$$u^2 = j^2 - \beta j + \dfrac{\beta^2}{4} = \alpha + \dfrac{\beta^2}{4} ,$$

qui est un réel, notons-le $r$.

Supposons $r \geqslant 0$. Alors $\left(u - \sqrt{r}\right)\left(u + \sqrt{r}\right) = 0$, et $K$, étant un corps, n’a pas de diviseur de zéro : l’un des facteurs est nul, d’où $u = \pm\sqrt{r} \in \mathbb{R}$, puis $j = u + \dfrac{\beta}{2} \in \mathbb{R}$, ce qui est exclu.

Donc $r < 0$, et l’élément

$$i_K = \dfrac{u}{\sqrt{-r}} \qquad \text{vérifie} \qquad i_K^{\,2} = \dfrac{r}{-r} = -1 .$$

Notez que $i_K$ n’est pas réel (sinon $j$ le serait) : l’étape 1, appliquée à $i_K$, dit que $\left(1\,;i_K\right)$ est une base de $K$.

Étape 3 : l’application $1 \mapsto 1$, $i \mapsto i_K$ est un isomorphisme

Soit $f$ l’unique application $\mathbb{R}$-linéaire de $\mathbb{C}$ dans $K$ telle que $f(1) = 1$ et $f(i) = i_K$. Autrement dit, pour tous $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$, $f(a + bi) = a + b\,i_K$.

Elle est bijective. Une application linéaire qui envoie une base sur une base est bijective : $(1\,;i)$ est une base de $\mathbb{C}$, $\left(1\,;i_K\right)$ en est une de $K$.

Elle respecte la somme. C’est la linéarité, par construction.

Elle respecte le produit. Pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ :

$$f\big((a+bi)(c+di)\big) = f\big((ac-bd) + (ad+bc)\,i\big) = (ac-bd) + (ad+bc)\,i_K .$$

Développons maintenant, dans $K$, le produit des images :

$$\left(a + b\,i_K\right)\left(c + d\,i_K\right) = ac + ad\,i_K + bc\,i_K + bd\,i_K^{\,2} = (ac - bd) + (ad+bc)\,i_K ,$$

ce développement n’utilisant que la distributivité, la commutativité et la relation $i_K^{\,2} = -1$. Les deux résultats coïncident.

Elle respecte le reste. De $f(1) = 1$ on tire, pour tout $z \in \mathbb{C}$ non nul, $f(z)\,f\!\left(z^{-1}\right) = 1$, donc $f\!\left(z^{-1}\right) = f(z)^{-1}$ : les inverses suivent gratuitement, et $f$ est un isomorphisme de corps.

Un détail qui n’en est pas un : il y en a exactement deux

L’élément $i_K$ construit à l’étape 2 n’est pas unique : $-i_K$ a le même carré, et il convient tout autant. Il existe donc exactement deux isomorphismes de $\mathbb{C}$ sur $K$ qui fixent $\mathbb{R}$ point par point, et pas davantage : un tel isomorphisme est entièrement déterminé par l’image de $i$, laquelle doit être un élément de carré $-1$, donc une racine dans $K$ du polynôme $X^2 + 1$, qui en compte au plus deux.

Vous avez démontré exactement cela à l’exercice $20$ de l’Atelier, dans le cas $K = \mathbb{C}$ : au-dessus de $\mathbb{R}$, le corps $\mathbb{C}$ n’a que deux symétries, l’identité et la conjugaison. L’unicité de $\mathbb{C}$ est donc unicité à isomorphisme près, jamais à isomorphisme unique, et c’est la raison profonde pour laquelle aucune propriété mathématique ne distingue $i$ de $-i$.

La quatrième porte : $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$

Cauchy, en 1847, propose une construction qui ne décrète rien. On ne postule pas l’existence de $i$ : on la fabrique par le mécanisme des congruences, que vous retrouverez sur les entiers au chapitre A1.

Les classes. Pour tous $A \in \mathbb{R}[X]$ et $B \in \mathbb{R}[X]$, on convient que $A \equiv B$ lorsque $X^2 + 1$ divise $A - B$. C’est une relation d’équivalence, compatible avec les deux opérations : si $A \equiv A'$ et $B \equiv B'$, alors $A + B \equiv A' + B'$ et $AB \equiv A'B'$. On peut donc additionner et multiplier les classes sur des représentants.

Un représentant, et un seul. La division euclidienne d’un polynôme $A \in \mathbb{R}[X]$ par $X^2 + 1$ donne $A = Q\left(X^2+1\right) + R$ avec $\deg R \leqslant 1$, donc $A \equiv R$ : toute classe contient un polynôme $aX + b$, et un seul, car deux tels polynômes congrus ont une différence de degré au plus $1$ divisible par $X^2+1$, donc nulle. Les classes correspondent donc exactement aux couples $(a\,;b)$ de réels.

Le produit. Puisque $X^2 \equiv -1$, pour tous réels $a$, $b$, $c$, $d$ :

$$(aX+b)(cX+d) = acX^2 + (ad+bc)X + bd \equiv (ad+bc)\,X + (bd - ac) .$$

C’est très exactement le produit tordu de Hamilton, coordonnée par coordonnée. Et la classe de $X$ vérifie $X \times X \equiv -1$ : voilà l’élément de carré $-1$, non pas décrété, mais trouvé.

C’est un corps. Soit $aX + b$ une classe non nulle, c’est-à-dire $(a\,;b) \neq (0\,;0)$. Alors

$$(aX+b)(-aX+b) = -a^2X^2 + b^2 \equiv a^2 + b^2 ,$$

et ce réel est strictement positif. La classe de $\dfrac{-aX+b}{a^2+b^2}$ est donc l’inverse cherché. Une seconde route mène au même point : $X^2+1$ n’a pas de racine réelle, il est donc irréductible sur $\mathbb{R}$, donc premier avec tout polynôme non nul de degré au plus $1$, et l’identité de Bézout fournit $U \in \mathbb{R}[X]$ et $V \in \mathbb{R}[X]$ tels que $U(aX+b) + V\left(X^2+1\right) = 1$. La classe de $U$ est l’inverse. C’est le mécanisme qui fait de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ un corps quand $p$ est premier, transposé aux polynômes.

Et c’est bien $\mathbb{C}$. L’application qui à la classe de $aX+b$ associe le couple $(b\,;a)$ est bijective, respecte la somme, et respecte le produit d’après le calcul ci-dessus. Le théorème d’unicité le prévoyait d’ailleurs sans qu’on ait rien à vérifier : cet objet est un corps commutatif contenant $\mathbb{R}$, de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$, de base les classes de $1$ et de $X$.

Reste la troisième porte, celle des matrices

$$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} ,$$

où le produit tordu est le produit matriciel et où $i$ est la matrice du quart de tour. Elle vous attend au chapitre M1, et le théorème ci-dessus garantit d’avance ce que vous y trouverez.

Sources

• Cours C1, section 4.6, parcours X : l’énoncé du théorème et l’encadré historique sur Cauchy.
• Atelier C1, exercice 20 : les deux seules symétries de $\mathbb{C}$ au-dessus de $\mathbb{R}$.
• A. L. Cauchy, Mémoire sur une nouvelle théorie des imaginaires, et sur les racines symboliques des équations et des équivalences, 1847.
• M. Romagny, Le corps des nombres complexes, notes de préparation au CAPES, université Pierre-et-Marie-Curie, 2009 : la démonstration d’unicité y figure sous cette forme.