Flashcards — Le corps des nombres complexes
24 cartes · definition, theoreme, propriete, visuelle, formule, methode, piege, histoire
0/24 maitrisees
Definition
Qu'est-ce que l'ensemble $\mathbb{C}$, exactement ?
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Reponse
L'ensemble $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ des couples de réels, muni des deux opérations suivantes : pour tous $a$, $b$, $c$, $d$ réels,
$$(a\,;b) + (c\,;d) = (a+c\,;\,b+d),$$
$$(a\,;b) \times (c\,;d) = (ac-bd\,;\,ad+bc).$$
Tout est dit dans ces deux lignes, et tout y est vérifiable : elles ne font intervenir que des sommes et des produits de réels. Aucun objet mystérieux n'entre en jeu.
C'est la construction d'Hamilton ($1837$), et elle fait exactement l'inverse de l'exposé paresseux qui « ajoute à $\mathbb{R}$ un symbole $i$ vérifiant $i^2 = -1$ ». Cette phrase-là ne définit rien : elle postule l'existence d'un objet et sa bonne conduite, sans dire dans quel ensemble il vit ni pourquoi les règles de calcul lui survivraient.
Pourquoi des couples ? Parce que c'est le plan qu'il fallait munir d'un produit, et qu'un point du plan n'est rien d'autre qu'un couple de réels. La seconde ligne n'est d'ailleurs pas une invention : c'est la formule qu'imposent la distributivité, l'associativité et la commutativité une fois $i^2 = -1$ acquis.
$$(a\,;b) + (c\,;d) = (a+c\,;\,b+d),$$
$$(a\,;b) \times (c\,;d) = (ac-bd\,;\,ad+bc).$$
Tout est dit dans ces deux lignes, et tout y est vérifiable : elles ne font intervenir que des sommes et des produits de réels. Aucun objet mystérieux n'entre en jeu.
C'est la construction d'Hamilton ($1837$), et elle fait exactement l'inverse de l'exposé paresseux qui « ajoute à $\mathbb{R}$ un symbole $i$ vérifiant $i^2 = -1$ ». Cette phrase-là ne définit rien : elle postule l'existence d'un objet et sa bonne conduite, sans dire dans quel ensemble il vit ni pourquoi les règles de calcul lui survivraient.
Pourquoi des couples ? Parce que c'est le plan qu'il fallait munir d'un produit, et qu'un point du plan n'est rien d'autre qu'un couple de réels. La seconde ligne n'est d'ailleurs pas une invention : c'est la formule qu'imposent la distributivité, l'associativité et la commutativité une fois $i^2 = -1$ acquis.
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