F2 · analyse

F2 · Compléments de dérivation et convexité

La pente dit où l'on va, la courbure dit comment on tourne

« Les mathématiciens estiment l'argent à proportion de sa quantité, et les hommes de bon sens à proportion de l'usage qu'ils en peuvent faire. »

— Gabriel Cramer, lettre à Nicolas Bernoulli, 1728

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Phase 1 · ~5-10 min

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Trois idées clés

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•La pente dit si l'on monte ; elle ne dit pas si la montée s'amplifie ou s'épuise. L'instrument qui voit cela s'obtient en dérivant la dérivée
•Être convexe, c'est la même chose vue de quatre côtés : les cordes dominent l'arc, les pentes des cordes croissent, la courbe domine ses tangentes, $f'' \geqslant 0$
•Là où la courbure bascule se trouve un point d'inflexion : sur une épidémie, c'est très exactement le jour du pic

ACT-F2 La rumeur : treize jours d'enquête à mener seul à la maison, où l'on date à la main un basculement que le sens de variation ne voit pas

COURS-F2 Sections 1 à 3 : composer et dériver la chaîne, la dérivée seconde et sa lecture cinématique, la convexité par les cordes puis par le calcul

Phase 2 · ~10-15 min

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Teste tes connaissances et pratique les methodes

✍️

L'essentiel en cinq questions

5 questions · ~4 min · ★★

Composées, dérivée seconde, convexité, inflexion

✍️

Le tour complet du chapitre

15 questions · ~13 min · ★★★

QCM, V/F, chasse à l'erreur, associations, de la règle de la chaîne à la sécante

✍️

Convexe ou concave, à vue ?

10 verdicts · ~8 min · ★★★★

Trancher la courbure sans dérouler le calcul, et savoir quand on ne peut pas trancher

EXO-F2 L'Atelier : 31 exercices en sept parties, des gammes sur les composées aux six voyages où la convexité travaille pour de vrai

EXO-F2-CORR Le corrigé complet des trente et un exercices, défis étoilés compris, avec les rédactions modèles sur les questions pivots

Phase 3 · ~5-10 min

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Consolide l'essentiel avec les formules et flashcards

Formules essentielles

Memento

Dérivée d'une composée

$\forall x \in I : (v \circ u)'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr) \times u'(x)$

Dérivée de $u^n$

$\forall n \in \mathbb{N}^* : \bigl(u^n\bigr)' = n\,u'\,u^{n-1}$

Dérivée de $\sqrt{u}$

$\bigl(\sqrt{u}\bigr)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \quad (u > 0 \text{ sur } I)$

Dérivée de $1/u$

$\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2} \quad (u \neq 0 \text{ sur } I)$

Définition de la convexité

$\forall (a,b) \in I^2,\ \forall t \in [0\,;1] : f\bigl((1-t)a + tb\bigr) \leqslant (1-t)f(a) + t\,f(b)$

Convexité et signe de $f''$

$f \text{ convexe sur } I \iff \forall x \in I,\ f''(x) \geqslant 0$

Concavité et signe de $f''$

$f \text{ concave sur } I \iff \forall x \in I,\ f''(x) \leqslant 0$

Position tangente-courbe

$f'' \geqslant 0 \text{ sur } I \implies \forall (a,x) \in I^2,\ f(x) \geqslant f'(a)(x-a) + f(a)$

Inégalité de l'exponentielle

$\forall x \in \mathbb{R} : \mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$

Inégalité de Bernoulli

$\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \geqslant -1 : (1+x)^n \geqslant 1 + nx$

Point d'inflexion

$f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe : inflexion en $A\bigl(a\,;f(a)\bigr)$.

Annulation sans inflexion

Si $f''(a) = 0$ sans changement de signe, il n'y a pas d'inflexion.

Flashcards · 22 cartes · 6 catégories

Reviser

FICHE-F2 La carte mentale à quatre branches, le tableau des permis de dériver, la lecture du signe de $f''$ et les pièges qui coûtent des points

COURS-F2 La démonstration exigible et la machine à inégalités (section 4), le point d'inflexion et la courbure des routes (section 5), le laboratoire de la sécante (section 6)

Automatismes : le cahier de calcul

Projet Cahier de calcul (coord. Colas Bardavid), consultable sur le site des auteurs.

Phase 4

Aller plus loin

Ressources complementaires et approfondissement

L'envers de la courbure. Six pièces et des brèves rouvrent les tiroirs du cours : le juste prix d'un jeu infini que personne ne voulait payer, la règle que tout le monde utilisait sans jamais l'écrire, un théorème et ses trois héritiers, une théorie de la convexité qui n'intéressait personne, la corde qui converge au rythme du nombre d'or, et l'architecte qui pendait ses églises. Les trois tiroirs restés ouverts s'ouvrent ici.

Les Coulisses n°5

Vrai ou légende : Gaudí et la Sagrada Família

Le verdict sur l'affirmation des Coulisses. La maquette de chaînettes suspendues existe bel et bien, elle est admirable, et elle n'a pas été conçue pour la basilique de Barcelone : le renversement du fil a d'abord servi une petite église de banlieue.

Le pic est passé

Ce que la phrase entendue à chaque épidémie veut dire exactement, pourquoi l'inflexion tombe à mi-hauteur et pas ailleurs, et le script qui va dater le basculement sur une courbe de cas cumulés réelle, sans jamais résoudre d'équation.

La corde, la tangente et le ciseau

Les trois chercheurs de racines lancés sur la même équation, chronomètre en main : 39 étapes pour la dichotomie, 10 pour la corde, 5 pour la tangente. Le tableau complet des trois ordres de convergence, les scripts, et pourquoi les bibliothèques de calcul choisissent souvent la corde.

La chaîne, l'anagramme et l'arche

Ce que le devoir n'avait pas la place de raconter : la lettre d'un garçon de dix-sept ans qui démolit Galilée, l'anagramme latine que Hooke a laissée en 1675 et qui n'a été résolue qu'après sa mort, et les six cents pieds d'acier de Saint-Louis. Avec les scripts prêts à exécuter.